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Em matemática, a matriz Hessiana de uma função "f" de n variáveis é a matriz quadrada com "n" colunas e "n" linhas (n X n) das derivadas parciais de segunda ordem da função. Por isto, esta matriz descreve a curvatura local da função "f". Matrizes Hessianas são usadas em larga escala em problemas de otimização que não usam métodos Newtonianos.

A matriz hessiana foi desenvolvida no século XIX pelo alemão Ludwig Otto Hesse, razão porque mais tarde James Joseph Sylvester lhe deu este nome. O próprio Hesse, ao contrário, usava o termo "determinantes funcionais".

Índice

Definição formal em termos matemáticosEditar

 Ver artigo principal: função
 Ver artigo principal: Matriz (matemática)
 Ver artigo principal: derivada parcial

Dada uma função real de n variáveis reais

  sendo que x (em negrito) indica o vetor de dimensão nX1 das variáveis  

Lembre-se da notação para as derivadas parciais da função em relação às variáveis:

Em linguagem matemática Em Português Exemplo: função com n=2:  
  derivada parcial de primeira ordem da função "f" em relação a uma variável    
  A derivada da derivada (=derivada de segunda ordem): primeiro tomou-se a derivada da função "f" em relação à variável   e depois derivou-se esta derivada em relação à variável  [1].    

Se todas as derivadas parciais de "f" existirem, então a matriz hessiana de f é a matriz quadrada das derivadas de segunda ordem de f:[2]

 

Uma outra definição equivalente é: dado o vetor gradiente nX1, a matriz hessiana é sua derivada[3]. Por isso, há outras representações para a mesma matriz hessiana H acima:

 [4][5]

Propriedades da matriz hessianaEditar

       

Para variáveis genéricas xi e xj, esta igualdade pode ser rescrita como:

 

Pontos Críticos e DiscriminanteEditar

Se o gradiente da função f é zero em um ponto x que pertence ao domínio da função, então f em x possui um ponto crítico. O determinante do hessiano em x é chamado de discriminante em x. Se este determinante for zero, x será chamado de ponto crítico degenerado de f. Do contrário, o ponto não será degenerado.

Concavidade de funçõesEditar

A matriz hessiana é útil para identificar a concavidade de funções duas vezes diferenciáveis. Seja   uma função de n variáveis com derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas em um conjunto convexo aberto S.

  • A função é côncava (e portanto semicôncava também) se e somente se a matriz hessiana for semidefinida negativa
  • Se a matriz hessiana for é definida negativa, então a função é estritamente côncava. Isso não significa, no entanto, que se a função for estritamente côncava, então H(f) é negativa definida para todo x pertencente a S [7].
  • Se a matriz hessiana for definida positiva, então a função é estritamente convexa
  • A função é convexa se a matriz hessiana é semidefinida positiva
Propriedade da função Propriedade da matriz hessiana
Semidefinida Definida
Positiva Negativa Positiva Negativa
Função côncava (e portanto também quasicôncava) X
Função convexa X
Função estritamente côncava X
Função estritamente convexa X

Exemplo simples: como encontrar a matriz hessianaEditar

Considere a função   definida no conjunto de todos os pares de números. Sua matriz hessiana é:

  =  [8]

que é uma matriz negativa semidefinida, portanto f é côncava. Note que neste caso o Hessiano não depende de x e y, mas em geral depende[7]

Uso da matriz hessiana para caracterizar pontos críticosEditar

 Ver artigo principal: Ponto crítico (funções)
 Ver artigo principal: Determinante

Dada a função   a condição necessária para que um determinado ponto   seja um ponto crítico é que todas as derivadas parciais, calculadas naquele ponto específico, sejam iguais a zero[6]. No entanto, para definir se este ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou de sela, é preciso calcular o determinante da matriz hessiana e seus menores principais. Para isso, pode-se seguir os seguintes passos:

  1. Calcular as "n" derivadas de primeira ordem da função f. O resultado serão "n" funções das variáveis do vetor n × 1  
  2. Igualar cada uma das "n" funções do item 1 a zero. Com isso, serão descobertos valores para cada uma das variáveis   Chamaremos estes valores, cujas coordenadas compõem o ponto crítico, de   Igualmente, o vetor nX1 destes valores (números) será chamado de   Reservar este ponto crítico.
  3. A partir das derivadas de primeira ordem calculadas no item 1, calcular as derivadas de segunda ordem da função f e montar a matriz hessiana nXn. Notar que é possível que muitos elementos desta matriz sejam função das variáveis  
  4. Substitua as variáveis   presentes na matriz hessiana montada no item 3, pelos valores correspondentes do ponto crítico, ou seja, pelos valores do vetor   A matriz resultante não terá mais variáveis, somente números. Por exemplo, a derivada da função f em relação à variável   por sua vez derivada em relação à variável   calculada para o vetor   será representado por   e significa um número.
  5. A partir da matriz resultante do item 4, calcular os menores principais. Os resultados serão números.
    •  
    •  
    •  
    • ...
    •  =determinante da matriz hessiana calculada no item 4.
  6. Verificar o sinal dos menores principais do item 5[9]:
    Condição A matriz H O ponto crítico  
      É positiva definida É ponto de mínimo.
      É negativa definida É ponto de máximo.

Ver tambémEditar

NotasEditar

  1. SIMON & BLUME (2004), p. 339.
  2. SIMON & BLUME (2004), p. 340.
  3. INTRILIGATOR (1971), p. 498.
  4. INTRILIGATOR (1971), p. 499.
  5. MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael D, e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University press, 1995. ISBN 978-0-19-507340-9. Mathematiocal Appendix, "M.A Matrix Notation for Derivatives", p. 927.
  6. a b CHIANG (1984), p. 332.
  7. a b Concave and convex functions of many variables. Disponível em: <http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/CVN.HTM#p:CcvConds>. Acesso em 10 de abril de 2011.
  8. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 19 de março de 2016 
  9. CHIANG (1984), p. 333.

ReferênciasEditar

  • SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Mátemática para economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004. Reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9.
  • INTRILIGATOR, Michael D. Mathematical Optimization and Economic Theory. 1971, Prentice-Hall. Inc. Englewood Cliffs, N.J. printed in the United states of America 13-561753-7. Library of Congress Catalog Card Number: 72-127059. Appendix B, "Matrices".
  • CHIANG, Alpha C. Fundamental Methods in Mathematical Economics. 3ª edição. McGraw-Hill, Inc. 1984. ISBN 0-07-010813-7. Seção 11.4, "Objective functions with more than two variables".