Abrir menu principal

Hiperboloide

(Redirecionado de Hiperbolóide)
Hyperboloid1.png
Hiperboloide de uma folha
DoubleCone.png
superfície cônica
Hyperboloid2.png
Hiperboloide de duas folhas

Na geometria, um hiperboloide de revolução, às vezes chamado de hiperboloide circular, é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma hipérbole em torno de um de seus principais eixos. Um hiperboloide é uma superfície que pode ser obtida a partir de um hiperboloide de revolução, deformando-o por meio de escalonamentos direcionais, ou mais geralmente, de uma transformação afim.

Um hiperboloide é uma superfície quádrica, que é uma superfície que pode ser definida como o conjunto zero de um polinômio de grau dois em três variáveis. Entre as superfícies quádricas, um hiperboloide é caracterizado por não ser um cone ou um cilindro, ter um centro de simetria e interceptar muitos planos em hipérboles. Um hiperboloide também possui três eixos perpendiculares de simetria emparelhados e três planos perpendiculares de simetria emparelhados.

Dado um hiperboloide, se alguém escolhe um sistema de coordenadas cartesianas cujos eixos são eixos de simetria do hiperboloide, e origem é o centro de simetria do hiperboloide, então o hiperboloide pode ser definido por uma das duas equações seguintes:

ou

Ambas as superfícies são assintóticas ao cone de equação

Só se obtém um hiperboloide de revolução se e somente se Caso contrário, os eixos são exclusivamente definidos (até a troca do eixo x e do eixo y.)

Existem dois tipos de hiperboloides. No primeiro caso ( no lado direito da equação), tem-se um hiperboloide de uma folha, também chamado hiperboloide hiperbólico. É uma superfície conectada, que tem uma Curvatura Gaussiana negativa em cada ponto. Isto implica que o plano tangente em qualquer ponto intercepta o hiperboloide em duas retas e, assim, que o hiperboloide de uma folha é uma superfície duplamente regrada.

No segundo caso ( no lado direito da equação), tem-se um hiperboloide de duas folhas, também chamado hiperboloide elíptico. A superfície tem dois componentes conectados e uma curvatura gaussiana positiva em cada ponto. Assim, a superfície é convexa no sentido de que o plano tangente em todos os pontos intercepta a superfície somente nesse ponto.

Representações paramétricasEditar

 
Animação de um hiperboloide de revolução

As coordenadas cartesianas para os hiperboloides podem ser definidas, similares às coordenadas esféricas, mantendo o ângulo azimutal  , mas mudando a inclinação   para funções trigonométricas hiperbólicas:

Hiperboloide de uma superfície:  

 

Hiperboloide de duas superfícies:  

 
 
hiperboloide de uma folha: geração por uma hipérbole (topo) e retas (fundo: vermelho ou azul)
 
hiperboloide de uma folha: seções planas

Propriedades de um hiperboloide de uma folhaEditar

Retas na superfícieEditar

Se o hiperboloide tem a equação   então as retas

 

estão contidas na superfície.

No caso de   o hiperboloide é uma superfície de revolução e pode ser gerado pela rotação de uma das duas retas   ou  , que são inclinados para o eixo de rotação (ver imagem). A geração mais comum de um hiperboloide de revolução é a rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo semi-secundário (ver imagem).

Observação: Um hiperboloide de duas folhas é projetivamente equivalente a um paraboloide hiperbólico.

Seções planasEditar

Por simplicidade, as seções planas da unidade hiperboloide com equação   são considerados. Como um hiperboloide em posição geral é uma imagem afim da unidade hiperboloide, o resultado também se aplica ao caso geral.

  • Um plano com uma inclinação menor que 1 (1 é a inclinação das linhas no hiperboloide) intercepta   numa elipse,
  • Um plano com inclinação igual a 1 contendo a origem intercepta   em um par de linhas paralelas,
  • Um plano com uma inclinação igual a 1 que não contém a origem intercepta   em uma parábola,
  • Um plano tangencial intercepta   em um par de linhas de concorrentes,
  • Um plano não tangencial com uma inclinação maior que 1 intersecta   em uma hipérbole.[1]

Obviamente, qualquer hiperboloide de revolução de uma folha contém círculos. Isso também é verdade, mas menos óbvio, no caso geral.

 
hiperboloide de duas folhas: geração pela rotação de uma hipérbole
 
hiperboloide de duas folhas: seções planas

Propriedades de um hiperboloide de duas folhasEditar

O hiperboloide de duas folhas não contém retas. A discussão de seções planas pode ser realizada para a unidade hiperboloide de duas folhas com equação

 .

que pode ser gerado por uma hipérbole rotativa em torno de um de seus eixos (aquele que corta a hipérbole)

  • Um plano com declive menor que 1 (1 é o declive das assíntotas da hipérbole geradora) intercepta   ou em uma elipse ou em um ponto ou não intercepta,
  • Um plano com inclinação igual a 1 contendo a origem (ponto médio do hiperboloide) não cruza   ,
  • Um plano com inclinação igual a 1 que não contém a origem intercepta   em uma parábola,
  • Um plano com inclinação maior que 1 intercepta   em uma hipérbole.[2]

Obviamente, qualquer hiperboloide de revolução de duas folhas contém círculos. Isso também é verdade, mas menos óbvio, no caso geral.

Observação: Um hiperboloide de duas folhas é projetivamente equivalente a uma esfera.

Representação paramétrica comumEditar

A seguinte representação paramétrica inclui hiperboloides de uma folha, duas folhas e seu cone de limite comum, cada um com o eixo   como o eixo de simetria:

 

  • Para   obtém-se um hiperboloide de uma folha,
  • Para   um hiperboloide de duas folhas e
  • Para   um cone duplo.

Pode-se obter uma representação paramétrica de um hiperboloide com um eixo de coordenadas diferente como o eixo de simetria, arrastando a posição do termo   para o componente apropriado na equação acima.

Simetrias de um hiperboloideEditar

Os hiperboloides com equações   são

  • ponto simétrico à origem,
  • simétrica para os planos de coordenadas e
  • simétrica rotacional ao eixo z e simétrica a qualquer plano que contenha o eixo z, em caso de   (hiperboloide de revolução).

Na curvatura de um hiperboloideEditar

A curvatura gaussiana de um hiperboloide de uma folha é negativa, a de um hiperboloide de duas folhas é positiva. Apesar de sua curvatura positiva, o hiperboloide de duas folhas com outra métrica adequadamente escolhida também pode ser usado como modelo para geometria hiperbólica.

Equações generalizadasEditar

Mais geralmente, um hiperbolóide arbitrariamente orientado, centrado em  , é definido pela equação

 

onde   é uma matriz e  ,   são vetores.

Os autovetores de   definem as direções principais do hiperboloide e os autovalores de   são os recíprocos dos quadrados dos semi-eixos:  ,   e  . O hiperboloide de uma folha tem dois autovalores positivos e um autovalor negativo. O hiperboloide de duas folhas tem um autovalor positivo e dois autovalores negativos.

Em mais de três dimensõesEditar

Hiperboloides imaginários são frequentemente encontrados em matemática de dimensões superiores. Por exemplo, em um espaço pseudo-euclidiano, tem-se o uso de uma forma quadrática:

 

Quando   é qualquer constante, então a parte do espaço dada por

 

é chamado de hiperboloide. O caso degenerado corresponde a  .

Como exemplo, considere a seguinte passagem:[3]

... os vetores de velocidade sempre se encontram em uma superfície que Minkowski chama de hiperboloide quadridimensional, expressa em termos de coordenadas puramente reais (y1, ..., y4), sua equação é y2
1
+ y2
2
+ y2
3
y2
4
= −1
, análogo ao hiperboloide y2
1
+ y2
2
y2
3
= −1
de espaço tridimensional.

No entanto, o termo quasi-esfera também é usado neste contexto, uma vez que a esfera e o hiperboloide têm alguma semelhança.

Estruturas hiperboloidesEditar

Hiperboloides de uma folha são usados na construção, com estruturas chamadas estruturas hiperboloides. Um hiperboloide é uma superfície duplamente regrada; Assim, ele pode ser construído com vigas retas de aço, produzindo uma estrutura forte a um custo menor do que outros métodos. Exemplos incluem torres de resfriamento, especialmente de usinas elétricas, e muitas outras estruturas.

Relação com a esferaEditar

Em 1853, William Rowan Hamilton publicou suas Lectures on Quaternions, que incluíam a apresentação de biquaternions. A passagem a seguir da página 673 mostra como Hamilton usa álgebra de biquaternion e vetores de quaternions para produzir hiperboloides a partir da equação de uma esfera:

... a equação da esfera unitária ρ2 + 1 = 0, e mude o vetor ρ para uma forma de bivetor, como σ + τ −1. A equação da esfera então se divide no sistema das duas seguintes,
σ2τ2 + 1 = 0, S.στ = 0;
e sugere nossa consideração σ e τ como dois vetores reais e retangulares, de modo que
Tτ = (Tσ2 − 1 )1/2.
Por isso, é fácil inferir que, se assumirmos σ   λ, onde λ é um vetor em uma determinada posição, o novo vetor real σ + τ terminará na superfície de um hiperboloide de duas folhas e equilátero; e que, se, por outro lado, assumirmos τ   λ, então o locus da extremidade do vetor real σ + τ será um hiperboloide equilátero, mas de uma folha. O estudo desses dois hiperboloides é, portanto, assim conectado de maneira muito simples, através de biquaternions, com o estudo da esfera.; ...

Nesta passagem S é o operador que dá a parte escalar de um quaternion, e T é o "tensor", agora chamado de norma, de um quaternion.

Uma visão moderna da unificação da esfera e do hiperboloide usa a ideia de uma seção cônica como uma fatia de uma forma quadrática. Em vez de uma superfície cônica, uma exige hiper-superfícies cônicas no espaço de quatro dimensões com pontos p = (w, x, y, z) ∈ R4 determinado por formas quadráticas. Primeiro, considere a hiper-superfície cônica

  e
  que é um hiperplano.

Então   é a esfera com raio r. Por outro lado, a hiper-superfície cônica

  prevê que   é um hiperboloide.

Na teoria das formas quadráticas, uma unidade quasi-esfera é o subconjunto de um espaço quadrático X consistindo em xX tal que a norma quadrática de x é um.[4]

Ver tambémEditar

Torre hiperboloide de Shukhov (1898) em Vyksa

Referências

  1. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 116
  2. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 122
  3. Thomas Hawkins (2000) Emergence of the Theory of Lie Groups: an essay in the history of mathematics, 1869—1926, §9.3 "The Mathematization of Physics at Göttingen", see page 340, Springer ISBN 0-387-98963-3
  4. Ian R. Porteous (1995) Clifford Algebras and the Classical Groups, pages 22, 24 & 106, Cambridge University Press ISBN 0-521-55177-3
 
O Wikiquote possui citações de ou sobre: Hiperboloide
 
O Commons possui uma categoria contendo imagens e outros ficheiros sobre Hiperboloide

Ligações externasEditar