História da matemática

campo de estudo que investiga a origem das descobertas matemáticas e os métodos e notações do passado

A história da matemática é uma área de estudo que busca explorar as diversas práticas matemáticas que existiram ao longo do tempo e em diferentes territórios. Embora muitos acreditam que seja dedicada à investigação sobre a origem das descobertas da matemática, a historiografia atual tem se debruçado em compreender os métodos matemáticos dentro do seu próprio contexto, valorizando as diferenças entre como fazemos matemática hoje e como se fazia matemática em outros períodos e lugares.

A historiografia da matemática ainda tem a difícil missão de superar os discursos anacrônicos e teleológicos. Um deles amplamente difundido é que a contribuição greco-helênica refinou grandiosamente os métodos (especialmente através da introdução do raciocínio dedutivo e do rigor matemático em provas) e expandiu o tema da matemática, isto é, aquilo de que ela trata.[1] Assim, é comum defenderem que o estudo da matemática como um tópico em si mesmo começa no século VI a.C. com os pitagóricos, os quais cunharam o termo "matemática" a partir do termo μάθημα (mathema) do grego antigo, significando, então, "tema do esclarecimento".[2] No entanto, são visões enviesadas pelos relatos de Heródoto e pelos neopitagóricos, que defendiam uma matemática "pura" no sentido de que a matemática (grega) é desenvolvida independente das demandas "práticas", como nas construções, na mecânica dos corpos, na agricultura, etc. Esse discurso é falacioso uma vez que a matemática, pelo menos até o século XVIII sempre esteve associada com a prática, inclusive na Grécia Antiga. Por exemplo, historiadores mais recentes defendem que a Escola Pitagórica não tinha como foco principal uma matemática voltada para a geometria ou para a demonstração, como se faz n'Os Elementos de Euclides. O teorema de Pitágoras para os pitagóricos estaria associado a um caso particular de números figurados, portanto para eles seria um resultado muito mais aritmético do que geométrico. Essas separações entre matemática pura e aplicada, entre matemática e física (e as outras ciências), entre teoria e prática se consolidam a partir do século XIX. Elas aparecem em muitas narrativas históricas como resultados de um anacronismo do próprio historiador que escreve sobre as práticas matemáticas do passado projetando a sua ideia do que seja a matemática de hoje.

Papiro de Rhind do Antigo Egipto, cerca de 1650 a.C.

Matemática na pré-históriaEditar

A origem do pensamento matemático jaz nos conceitos de número, magnitude e forma.[3] Estudos modernos da cognição animal mostraram que tais conceitos não são unicamente humanos. Eles teriam sido parte da vida cotidiana de sociedades de indivíduos caçadores-coletores. Ademais, que o conceito de número tenha se desenvolvido paulatinamente ao longo do tempo, isto fica evidente com o fato de que algumas línguas atuais preservam a distinção entre "um", "dois" e "muitos", mas não em relação a números maiores do que dois.[3]

O objeto matemático reconhecido como possivelmente o mais antigo é o osso de Lebombo, descoberto nos montes Libombos, na Suazilândia, e datado de aproximadamente 35000 anos a.C.[4][5] Tal osso consiste em 29 entalhes feitos em uma fíbula (ou perônio) de um babuíno.[6][7] Também foram descobertos artefatos pré-históricos na África e na França, datados de entre 35000 e 20000 anos atrás,[8] os quais sugerem tentativas arcaicas de quantificação do tempo.[9] No livro How Mathematics Happened: The First 50 000 Years (sem versão em português), por exemplo, Peter Rudman argumenta que o desenvolvimento do conceito de números primos apenas pôde ter surgido depois do conceito de divisão, a qual é por ele datada de após 10.000 a.C., sendo que os números primos provavelmente não eram entendidos até em torno de 500 a.C. Ele também escreve que "não foi feita nenhuma tentativa de explicar por que razão uma talha de alguma coisa deve apresentar múltiplos de dois, números primos entre 10 e 20 e alguns números que são quase múltiplos de 10".[10]

Matemática egípciaEditar

 Ver artigo principal: Matemática egípcia

O osso de Ishango, descoberto perto das cabeceiras do rio Nilo, pode possuir algo como 20000 anos de existência e consiste em uma série de talhas marcadas em três colunas ao longo do comprimento do osso. As interpretações mais habituais a respeito de tal osso dizem que ele mostra ou a mais antiga demonstração conhecida de sequências de números primos[7] ou então um calendário lunar de seis meses.[11] Há também egípcios do período pré-dinástico do quinto milênio a.C. que representaram pictoricamente as figuras geométricas. Além disso, reivindica-se que os monumentos megalíticos presentes na Inglaterra e na Escócia, datados do terceiro milênio a.C., incorporam em suas formas ideias tais como a de círculo, a de elipse e os triplos pitagóricos.[12]

Anteriormente à modernidade, os escritos matemáticos tornaram-se conhecidos em apenas poucas localidades. Alguns textos matemáticos mais antigos, como o Papiro de Ahmes (matemática egípcia, cerca de 2000-1800 a.C.)[13] e o Papiro de Moscou (matemática egípcia, cerca de 1890 a.C.) -- assim como o tablete de argila Plimpton 322 (matemática babilônica, cerca de 1800 a.C.)[14] -- todos eles se tornaram conhecidos pela comunidade acadêmica apenas no século XIX.

Matemática babilônicaEditar

 
Tabuleta de argila babilônica com inscrições. A diagonal mostra uma aproximação da raiz quadrada de 2, com seis casas decimais.
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296...
 
A tabuleta Plimpton 322.
Matemática Babilônica (também conhecido como Matemática Assírio-Babilônica[15][16][17][18][19][20]) se refere a qualquer forma de matemática desenvolvida pelos povos da Mesopotâmia, desde os dias dos antigos Sumérios até a queda da Babilônia em 539 a.C. Os textos matemáticos da Mesopotâmia são abundantes e bem documentados.[21] Em respeito a ordem cronológica eles são divididos em dois grupos: uma da Primeira dinastia babilônica (1830-1531 a.C.), e a segunda principalmente vai até o período do Império Selêucida nos últimos três ou quatro séculos a.C. Em relação ao conteúdo, há apenas pequenas diferenças entre os dois grupos de textos. Assim a matemática Babilônica se mantem constante, em seu conteúdo por cerca de dois milénios.[21] Em contraste com a escassez de fontes da Matemática Egípcia, o conhecimento sobre a matemática Babilônica é derivado de 400 tábuas de argila, desenterrados desde meados do séc XIX. Gravadas em escrita cuneiforme, as tábuas eram escritas quando a argila ainda estava úmida, e depois cozinhadas em fornos ou sob o calor do sol. A maioria das tábuas de argila datam de 1800 até 1600 a.C, e cobre tópicos a quais incluem frações, álgebra, equações quadráticas e equações cúbicas além do teorema de Pitágoras.

Matemática gregaEditar

 Ver artigo principal: Matemática grega

Egípcios, babilônicos e chineses, muito antes do século VI a.C., eram já capazes de efetuar cálculos e medidas de ordem prática com grande precisão. Foram os gregos, no entanto, que introduziram as rigorosas provas dedutivas e o encadeamento sistemático de teoremas demonstrativos que tornaram a Matemática uma ciência.

A palavra "matemática" (μαθηματική), que é de origem grega, englobava uma gama diversa de atuações como a aritmética, a geometria, a astronomia, a música, a mecânica, entre outros. As primeiras gerações de filósofos gregos como Tales de Mileto (625 a.C. - 545 a.C.), Pitágoras de Samos (570 a.C. - 495 a.C.) e Demócrito de Abdera (c. 460 a.C.) jamais se limitaram à geometria, mas se dedicaram também à aritmética, à astronomia, à musica, à filosofia, à ética, à religião etc. Alguns matemáticos como Euclides (c. 295 a.C.) e Apolônio de Perga (c. 200 a.C.) são mais conhecidos por seus textos em geometria, enquanto outros como Diofanto de Alexandria (~214 d.C.) notabilizou-se por seus estudos em aritmética. Outros matemáticos não trabalhavam dentro do estilo dedutivo como Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.), ou como Pitágoras e Tales já citados. Portanto, o que chamamos de matemática grega não deve se limitar a uma fronteira clara entre a matemática e as demais disciplinas e jamais ser reduzida ao estilo dedutivo exposto n'Os Elementos de Euclides. Ela foi um complexo de disciplinas multifacetadas trabalhada de diversas formas.

A contribuição dos filósofos pré-socráticos à matemática são discutíveis e em grande parte fruto de tradição mal documentada. As mais antigas evidências concretas sobre as atividades de um matemático propriamente dito referem-se a Hipócrates de Quios (c. 470 a.C. - 400 a.C.). Nossos conhecimentos sobre Hipócrates de Quios e outros matemáticos anteriores ao século IV a.C., no entanto, baseiam-se em fragmentos de suas obras e em tradições conservadas nos séculos posteriores. O mais antigo tratado matemático que chegou até nós é o "Da esfera móvel", de Autólico (360 a.C. - 290 a.C.), um estudo a respeito da piramidia da esfera. Dos matemáticos posteriores restam-nos diversas obras de valor desigual, dentre as quais destaca-se Os Elementos, de Euclides, cuja influência persiste até hoje.

O interesse pela História da Matemática iniciou, também, na Grécia Antiga. Eudemo de Rodes (século IV a.C.), um dos discípulos de Aristóteles, escreveu histórias da aritmética, da geometria e da astronomia que, infelizmente, não foram conservadas. Durante o período greco-romano, matemáticos como Papo de Alexandria e Teon, pai da filósofa Hipatia, discutiram e comentaram a obra de seus predecessores.

Matemática chinesaEditar

A matemática na China surgiu de forma independente por volta do século XI a.C.[22] Os chineses desenvolveram de forma independente números muito grandes e negativos, decimais, um sistema decimal de valor posicional, um sistema binário, álgebra, geometria e trigonometria.

Os matemáticos chineses antigos fizeram avanços no desenvolvimento de algoritmos e na álgebra. Enquanto a matemática grega declinou no oeste durante os tempos medievais, a conquista da álgebra chinesa alcançou o auge no século XIII, quando Zhu Shijie inventou o método de quatro incógnitas.

Como resultado de óbvias barreiras linguísticas e geográficas, bem como de conteúdo, a matemática chinesa e a matemática do antigo mundo mediterrânico são assumidas como se tendo desenvolvido mais ou menos independentemente até ao momento em que Os nove capítulos da arte matemática atingiram a sua forma final, enquanto o Livro sobre Números e Cálculo e o Huainanzi são mais ou menos contemporâneos com a matemática grega clássica. É provável que tenha havido troca de ideias em toda a Ásia através de intercâmbios culturais conhecidos desde pelo menos os tempos romanos. Frequentemente, os elementos da matemática das sociedades primitivas correspondem a resultados rudimentares encontrados mais tarde em ramos da matemática moderna, como a geometria ou a teoria dos números. O teorema de Pitágoras, por exemplo, foi atestado no tempo do duque de Zhou. O conhecimento do triângulo de Pascal também mostrou ter existido na China, séculos antes de Pascal, como na dinastia Song, pelo polímata chinês Shen Kuo.[23]

Matemática hinduEditar

A matemática indiana surgiu no subcontinente indiano[24] a partir de 1 200 a.C. [25] e desenvolveu-se relativamente isolada, sem influência exterior, mas exportando seu conhecimento, até o final do século XVIII. No período clássico da matemática indiana (400 a 1600), importantes contribuições foram feitas por estudiosos como Ariabata, Brahmagupta, Mahavira, Bhaskara II, Madhava de Sangamagrama e Nilakantha Somayaji. O sistema de numeração decimal em uso hoje [26] foi primeiramente registrado na matemática indiana.[27] Matemáticos indianos fizeram contribuições iniciais para o estudo do conceito de zero como um número, [28] números negativos, [29] aritmética e álgebra.[30] Além disso, trigonometria era mais avançada na Índia,[31] e, em particular, as definições modernas de seno e cosseno foram desenvolvidas lá.[32] Estes conceitos matemáticos foram transmitidos para o Oriente Médio, China e Europa [30] e levaram a novos desenvolvimentos que agora formam os fundamentos de muitas áreas da matemática.

Trabalhos matemáticos indianos antigos e medievais, todos compostas em sânscrito, geralmente consistiam de uma seção de sutras em que um conjunto de regras ou problemas eram apresentadas com grande economia nos versos, a fim de ajudar a memorização por um estudante. Isto era seguido por uma segunda seção que consistia de um comentário em prosa (às vezes vários comentários de diferentes estudiosos) que explicavam o problema mais detalhadamente e apresentavam uma justificação para a solução. Na seção prosa, a forma (e, portanto, sua memorização) não era considerada tão importante quanto as ideias envolvidas.[24][33] Todos os trabalhos matemáticos foram transmitidos oralmente até cerca de 500 a.C.; depois, foram transmitidos oralmente e em forma manuscrita. O mais antigo documentos matemático produzido existente no subcontinente indiano é a casca de bétula Manuscrito Bakhshali, descoberto em 1881 na aldeia de Bakhshali, perto de Pexauar (atual Paquistão) e é provável que seja do século VII.[34][35]

Um marco posterior na matemática indiana foi o desenvolvimento dos expansões em séries para funções trigonométricas (seno, cosseno e arco tangente) por matemáticos da escola de Querala, no século XV. Seu trabalho notável, completou dois séculos antes da invenção do cálculo na Europa, sendo o que hoje é considerado o primeiro exemplo de uma série de potências (com exceção da série geométrica).[36] No entanto, eles não formularam uma teoria sistemática de diferenciação e integração, nem há qualquer evidência direta de seus resultados serem transmitidos fora de Querala.[37][38][39][40]

Matemática islâmicaEditar

 Ver artigo principal: Matemática islâmica

Matemática africanaEditar

Muitos acreditam que a Matemática teve seu início com os egípcios e babilônios há cerca de 2000 a.C., porém há registros matemáticos de mais de 35000 anos na África Central.

Antes da invenção dos números, os primeiros homens tinham que resolver problemas cotidianos, tais como, medir, quantificar, comparar, classificar, entre outros. Eram contados dias do mês, distribuição de água ou número de instrumentos e animais. Uma das primeiras maneiras de se realizar contagem foi associando cada objeto que se queria quantificar com outro (associação biunívoca). Poderia associar uma pedra a cada animal de rebanho, por exemplo.

Outro modo que antecedeu a escrita foram as marcações em paus, pedras e ossos de animais. O registro mais antigo desse tipo de contagem é o osso de Lebombo. O objeto foi utilizado há, aproximadamente, 35000 a.C. e foi encontrado, em 1970, nas montanhas do Reino da Suazilândia. Contém uma sequência de 29 marcas usadas hoje em dia por tribos Bosquímanos.[41]

Nos anos 50 um objeto ainda mais interessante foi encontrado. Trata-se do osso de Ishango. Um artefato de 10 cm de comprimento que traz um cristal de quartzo em uma das extremidades com, aproximadamente, 20000 anos que traz três colunas de entalhes agrupados. Aparentemente o objeto era utilizado para a escrita, pois o cristal não pode ser separado do osso.

O responsável pelo achado foi o arqueólogo belga Jean de Heinzelin. Ele fazia escavações na República Democrática do Congo, às margens do lago Rutanzige. O osso foi conservado, pois ficou enterrado sob a lava de um vulcão. Além do bastão encontraram-se outros instrumentos, restos de fauna e até ossadas humanas.

Alguns acreditam que o osso traz, somente, alguma contagem realizada. Outros creem que os povos da época já se divertiam usando matemática e que o osso seria algum tipo de jogo aritmético. Mas em 1972, o jornalista americano Alexander Marshack disse que o bastão seria um calendário lunar. A soma de cada uma das duas últimas colunas dá 60, ou seja, dois meses lunares. Já a primeira coluna com 48 traços, seria um mês e meio lunar.

Matemática medievalEditar

 Ver artigo principal: Matemática medieval

Matemática no renascimentoEditar

 Ver artigo principal: Matemática no renascimento

Matemática durante a Revolução CientíficaEditar

Matemática modernaEditar

O Movimento da Matemática Moderna foi um movimento internacional do ensino de matemática que surgiu na década de 1960 e se baseava na formalidade e no rigor dos fundamentos da teoria dos conjuntos e da álgebra para o ensino e a aprendizagem de Matemática .[42] A introdução da matemática moderna é objeto de críticas e controvérsias. Morris Kline foi um dos críticos que ajudou a cunhar o termo "Matemática Moderna” ao publicar em 1973, o livro Why Johnny can’t add: The failure of the new math[1], no qual apresenta a origem, o porquê e as deformações do movimento de reforma do currículo tradicional no ensino de matemática nos Estados Unidos, que depois teve repercussão em todo o mundo.

[1] Este livro foi traduzido em 1976 para o português com o nome O fracasso da matemática moderna e teve grande repercussão no meio acadêmico brasileiro.

O Movimento da Matemática Moderna, foi um movimento que teve grande força após a Segunda Guerra Mundial. A partir da década de 60 houve maior preocupação nas áreas relacionadas com a educação, a Matemática foi uma delas e pode tratar de temas que moldam área atual, realizou-se unificações de disciplinas e foi elencado temas pelos quais seriam debatidos e a partir de então ocorrem reuniões frequentes para que o tema seja debatido e postos a análise.

Segundo Lima (2011) , o ensino da matemática é embasado em três pilares: conceituação, manipulação e aplicações. A conceituação é constituída por definições, demonstrações e correlações (conexões). A manipulação compreende o manuseio de fórmulas algébricas, de operações aritméticas, de soluções de equações por meio de algoritmos. A manipulação tem um papel preponderante no ensino da matemática. Na década de 60, surgiu o movimento denominado Matemática Moderna que enfatizava a conceituação, em detrimento da manipulação. O aluno aprendia que 3 + 5 = 5 + 3, pela propriedade comutativa da adição, mas não sabia que é 8. O movimento acabou caindo no descrédito, porque 3 + 5 = 5 + 3, não resolve o problema. As aplicações consistem na utilização de noções e teorias da matemática na resolução de problemas para obter resultados, tirar conclusões e fazer previsões[43].

Para ÁVILA (1993), a Matemática Moderna foi uma reforma profunda no ensino da matemática. Enfatizava acentuadamente a linguagem de conjuntos e abordava as diferentes partes da matemática de modo excessivamente formal. Inicialmente, contou com muitos adeptos, mas com a constatação de sua ineficiência, foi aumentando o número de opositores. Em muitos países, a Matemática Moderna foi sendo deixada de lado, com o aparecimento de novas mudanças. No Brasil, esse processo foi mais demorado, deixando resquícios que se perpetuam. O conteúdo era carregado de simbolismo e linguagem de conjunto, o que dificulta a aprendizagem. Em vez de dizer que as raízes da equação x² + 2x – 3 = 0 são 1 e -3, se dizia que o conjunto verdade da sentença x² + 2x – 3 = 0 é V = {-3,1}. A matemática depende de linguagem e simbolismo próprios. Como essas ferramentas são o que torna a matemática tão difícil, mas são inevitáveis, devem ser utilizadas com o necessário cuidado[[44].

Ver tambémEditar

Referências

  1. Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
  2. Heath. A Manual of Greek Mathematics. [S.l.: s.n.] p. 5 
  3. a b (Boyer 1991, "Origins" p. 3)
  4. [1]
  5. «Osso de Lebombo». MathWorld 
  6. «Osso de Lebombo». MathWorld 
  7. a b Williams, Scott W. (2005). «The Oldest Mathematical Object is in Swaziland». Mathematicians of the African Diaspora. SUNY Buffalo mathematics department. Consultado em 6 de maio de 2006 
  8. An old mathematical object
  9. Mathematics in (central) Africa before colonization
  10. Rudman, Peter Strom (20007). How Mathematics Happened: The First 50,000 Years. [S.l.]: Prometheus Books. p. 64. ISBN 978-1591024774  Verifique data em: |ano= (ajuda)
  11. Marshack, Alexander (1991): The Roots of Civilization, Colonial Hill, Mount Kisco, NY.
  12. Thom, Alexander, and Archie Thom, 1988, "The metrology and geometry of Megalithic Man", pp 132-151 in C.L.N. Ruggles, ed., Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom. Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-33381-4.
  13. Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity 2 ed. [S.l.]: Dover Publications. ISBN 978-048622332-2  Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71–96.
  14. J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318.
  15. Lewy, H. (1949). 'Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology'. Orientalia (NS) 18, 40–67; 137–170.
  16. Lewy, H. (1951). 'Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology'. Orientalia (NS) 20, 1–12.
  17. Bruins, E.M. (1953). 'La classification des nombres dans les mathématiques babyloniennes. Revue d'Assyriologie 47, 185–188.
  18. Cazalas, (1932). 'Le calcul de la table mathématique AO 6456'. Revue d'Assyriologie 29, 183–188.
  19. Langdon, S. (1918). 'Assyriological notes: Mathematical observations on the Scheil-Esagila tablet'. Revue d'Assyriologie 15, 110–112.
  20. Robson, E. (2002). 'Guaranteed genuine originals: The Plimpton Collection and the early history of mathematical Assyriology'. In Mining the archives: Festschrift for Chrisopher Walker on the occasion of his 60th birthday (ed. C. Wunsch). ISLET, Dresden, 245–292.
  21. a b Aaboe, Asger. "The culture of Babylonia: Babylonian mathematics, astrology, and astronomy." The Assyrian and Babylonian Empires and other States of the Near East, from the Eighth to the Sixth Centuries B.C. Eds. John Boardman, I. E. S. Edwards, N. G. L. Hammond, E. Sollberger and C. B. F. Walker. Cambridge University Press, (1991)
  22. History of mathematics: Chinese overview
  23. Frank J. Swetz and T. I. Kao: Was Pythagoras Chinese?
  24. a b Encyclopædia Britannica (Kim Plofker) 2007, p. 1
  25. (Hayashi 2005, pp. 360–361)
  26. Ifrah 2000, p. 346: "The measure of the genius of Indian civilisation, to which we owe our modern (number) system, is all the greater in that it was the only one in all history to have achieved this triumph. Some cultures succeeded, earlier than the South Asian cultures, in discovering one or at best two of the characteristics of this intellectual feat. But none of them managed to bring together into a complete and coherent system the necessary and sufficient conditions for a number-system with the same potential as our own." - Tradução: “A medida do gênio da civilização indiana, à qual devemos o nosso sistema (numérico) moderno, é tanto maior na medida em que era o único em toda a história a ter conseguido esse triunfo. Algumas culturas conseguiram, mais cedo do que as culturas do sul da Ásia, a descoberta de um ou no máximo duas das características desta façanha intelectual. Mas nenhum deles conseguiu reunir, em um sistema completo e coerente, as condições necessárias e suficientes para um sistema de números com o mesmo potencial como o nosso.”
  27. Plofker 2009, pp. 44–47
  28. Bourbaki 1998, p. 46: "...our decimal system, which (by the agency of the Arabs) is derived from Hindu mathematics, where its use is attested already from the first centuries of our era. It must be noted moreover that the conception of zero as a number and not as a simple symbol of separation) and its introduction into calculations, also count amongst the original contribution of the Hindus." - Tradução: “... nosso sistema decimal, que (pela agência dos árabes) é derivado de matemática hindu, onde seu uso já era atestado desde os primeiros séculos da nossa era. Deve notar-se, além disso, que a concepção de zero como um número e não como um símbolo de separação simples) e a sua introdução em cálculos, também contam entre a contribuição original dos hindus.”
  29. Bourbaki 1998, p. 49: Modern arithmetic was known during medieval times as "Modus Indorum" or method of the Indians. Leonardo of Pisa wrote that compared to method of the Indians all other methods is a mistake. This method of the Indians is none other than our very simple arithmetic of addition, subtraction, multiplication and division. Rules for these four simple procedures was first written down by Brahmagupta during 7th century CE. "On this point, the Hindus are already conscious of the interpretation that negative numbers must have in certain cases (a debt in a commercial problem, for instance). In the following centuries, as there is a diffusion into the West (by intermediary of the Arabs) of the methods and results of Greek and Hindu mathematics, one becomes more used to the handling of these numbers, and one begins to have other "representation" for them which are geometric or dynamic." - Tradução: “Aritmética moderna foi conhecida durante a época medieval como "Modus Indorum" ou método dos indianos. Leonardo de Pisa escreveu que, em comparação com o método dos índianos todos os outros métodos eram um erro. Este método dos indianos não é outro senão a nossa aritmética muito simples de adição, subtração, multiplicação e divisão. Regras para estes quatro procedimentos simples foram escritas pela primeira vez por Brahmagupta durante século VII. "Neste ponto, os hindus já estavam conscientes da interpretação de que os números negativos devem existir, em certos casos (a dívida em um problema comercial, por exemplo). Nos séculos seguintes, como há uma difusão para o Oeste (por intermédio dos árabes) dos métodos e resultados da matemática grega e hindu, esse sistema torna-se mais utilizado para o tratamento destes números, e começa-se a ter outra "representação" para os que eram geométricos ou dinâmicos".
  30. a b "algebra" 2007. Britannica Concise Encyclopedia. Encyclopædia Britannica Online. 16 May 2007. Citação: "A full-fledged decimal, positional system certainly existed in India by the 9th century (CE), yet many of its central ideas had been transmitted well before that time to China and the Islamic world. Indian arithmetic, moreover, developed consistent and correct rules for operating with positive and negative numbers and for treating zero like any other number, even in problematic contexts such as division. Several hundred years passed before European mathematicians fully integrated such ideas into the developing discipline of algebra." - Tradução: “Um sistema de posicionamento decimal de pleno direito certamente existiu na Índia por volta do século IX, mas muitas de suas ideias centrais tinham sido transmitidas bem antes que o tempo para a China e o mundo islâmico. A aritmética indiana, além disso, desenvolveu regras consistentes e corretas para operar com números positivos e negativos e para o tratamento de zero como qualquer outro número, mesmo em contextos problemáticos, como divisão. Várias centenas de anos se passaram antes de matemáticos europeus totalmente integrarem tais ideias no desenvolvimento da disciplina da álgebra.”
  31. (Pingree 2003, p. 45) Citação: "Geometry, and its branch trigonometry, was the mathematics Indian astronomers used most frequently. Greek mathematicians used the full chord and never imagined the half chord that we use today. Half chord was first used by Aryabhata which made trigonometry much more simple. In fact, the Indian astronomers in the third or fourth century, using a pre-Ptolemaic Greek table of chords, produced tables of sines and versines, from which it was trivial to derive cosines. This new system of trigonometry, produced in India, was transmitted to the Arabs in the late eighth century and by them, in an expanded form, to the Latin West and the Byzantine East in the twelfth century." - Tradução: “A Geometria, e seu ramo trigonometria, era a matemática que astrônomos indianos utilizavam mais frequentemente. Matemáticos gregos usaram a corda cheia e nunca imaginaram a metade da corda que usamos hoje. A metade da corda foi usada pela primeira vez por Ariabata que produziu trigonometria muito mais simples. Na verdade, os astrônomos indianos no terceiro ou quarto século, utilizando uma tabela pré-grega ptolomaica de cordas, produziram tabelas de senos e versenos (arco senos), a partir da qual era trivial derivar cossenos. Este novo sistema de trigonometria, produzido na Índia, foi transmitida aos árabes no final do século VIII e por elas, em uma forma expandida, para o Ocidente Latino e no Oriente Bizantino no século XII.”
  32. (Bourbaki 1998, p. 126): "As for trigonometry, it is disdained by geometers and abandoned to surveyors and astronomers; it is these latter (Aristarchus, Hipparchus,Ptolemy) who establish the fundamental relations between the sides and angles of a right angled triangle (plane or spherical) and draw up the first tables (they consist of tables giving the chord of the arc cut out by an angle on a circle of radius r, in other words the number ; the introduction of the sine, more easily handled, is due to Hindu mathematicians of the Middle Ages)." - Tradução: “Quanto a trigonometria, é desprezada pelos geômetras e abandonada por agrimensores e astrônomos; são estes últimos (Aristarco, Hiparco, Ptolomeu) que estabelecem as relações fundamentais entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo (plano ou esférico) e elaboram as primeiras tabelas (eles consistem de quadros com a corda do arco cortado por um ângulo sobre um círculo de raio r, em outras palavras o número ; a introdução do seno, mais facilmente manipulado, é devido aos matemáticos hindus da Idade Média)."
  33. Filliozat 2004, pp. 140–143
  34. Hayashi 1995
  35. Encyclopædia Britannica (Kim Plofker) 2007, p. 6
  36. Stillwell 2004, p. 173
  37. Bressoud 2002, p. 12. Citação: "There is no evidence that the Indian work on series was known beyond India, or even outside Kerala, until the nineteenth century. Gold and Pingree assert [4] that by the time these series were rediscovered in Europe, they had, for all practical purposes, been lost to India. The expansions of the sine, cosine, and arc tangent had been passed down through several generations of disciples, but they remained sterile observations for which no one could find much use." - Tradução: “Não há nenhuma evidência de que o trabalho indiano sobre séries foi conhecido além da Índia, ou mesmo fora Querala, até o século XIX. Gold e Pingree afirmam que até o momento estas séries foram redescobertas na Europa, que tinham, para todos os efeitos práticos, sido perdidas para a Índia. As expansões do seno, cosseno, tangente e arco tinham sido transmitidas através de várias gerações de discípulos, mas permaneceram observações estéreis para o qual ninguém poderia encontrar muito uso.”
  38. Plofker 2001, p. 293. Citação: "It is not unusual to encounter in discussions of Indian mathematics such assertions as that “the concept of differentiation was understood [in India] from the time of Manjula (... in the 10th century)” [Joseph 1991, 300], or that "we may consider Madhava to have been the founder of mathematical analysis" (Joseph 1991, 293), or that Bhaskara II may claim to be "the precursor of Newton and Leibniz in the discovery of the principle of the differential calculus" (Bag 1979, 294). ... The points of resemblance, particularly between early European calculus and the Keralese work on power series, have even inspired suggestions of a possible transmission of mathematical ideas from the Malabar coast in or after the 15th century to the Latin scholarly world (e.g., in (Bag 1979, 285)). ... It should be borne in mind, however, that such an emphasis on the similarity of Sanskrit (or Malayalam) and Latin mathematics risks diminishing our ability fully to see and comprehend the former. To speak of the Indian "discovery of the principle of the differential calculus" somewhat obscures the fact that Indian techniques for expressing changes in the Sine by means of the Cosine or vice versa, as in the examples we have seen, remained within that specific trigonometric context. The differential "principle" was not generalised to arbitrary functions—in fact, the explicit notion of an arbitrary function, not to mention that of its derivative or an algorithm for taking the derivative, is irrelevant here"
    Tradução: Não é incomum encontrar em discussões de matemática indiana tais afirmações como que "o conceito de diferenciação foi entendido [na Índia] no tempo de Manjula (... no século X)” [Joseph 1991, 300], ou que "podemos considerar Madhava ter sido o fundador da análise matemática" (Joseph 1991, 293), ou que Bhaskara II pode ser aclamado como "o precursor de Newton e Leibniz na descoberta do princípio do cálculo diferencial" (Bag 1979, 294). … Os pontos de semelhança, particularmente entre cálculo primordial europeu e o trabalho de Keralese em séries de potências, tem sugestões inspiradas mesmo de uma possível transmissão de ideias matemáticas da costa de Malabar em ou após o século XV para o mundo acadêmico Latino (e.g., em (Bag 1979, 285)). ... Deve-se ter em mente, contudo, que tal ênfase sobre a semelhança do sânscrito (ou malaiala) e matemática latina corre o risco de diminuir a nossa capacidade plena de ver e compreender o primeiro. Para falar da "descoberta do princípio do cálculo diferencial" indiana pouco obscurece o fato de que as técnicas indianas para expressar mudanças no seno por meio da cosseno ou vice-versa, como nos exemplos que temos visto, permaneceu dentro desse específico contexto trigonométrico. O "princípio" diferencial não foi generalizado para funções arbitrárias—na verdade, a noção explícita de uma função arbitrária, para não mencionar que de uma derivada sua ou um algoritmo para tomar a derivado, é irrelevante aqui."
  39. Pingree 1992, p. 562 Citação: "One example I can give you relates to the Indian Mādhava's demonstration, in about 1400 A.D., of the infinite power series of trigonometrical functions using geometrical and algebraic arguments. When this was first described in English by Charles Matthew Whish, in the 1830s, it was heralded as the Indians' discovery of the calculus. This claim and Mādhava's achievements were ignored by Western historians, presumably at first because they could not admit that an Indian discovered the calculus, but later because no one read anymore the Transactions of the Royal Asiatic Society, in which Whish's article was published. The matter resurfaced in the 1950s, and now we have the Sanskrit texts properly edited, and we understand the clever way that Mādhava derived the series without the calculus; but many historians still find it impossible to conceive of the problem and its solution in terms of anything other than the calculus and proclaim that the calculus is what Mādhava found. In this case the elegance and brilliance of Mādhava's mathematics are being distorted as they are buried under the current mathematical solution to a problem to which he discovered an alternate and powerful solution."
    Tradução: "Um exemplo que eu posso dar-lhe relaciona-se com a demonstração do indiano Mādhava, aproximadamente em 1400., da série de infinitas potências de funções trigonométricas usando argumentos geométricos e algébricos. Quando isso foi descrito pela primeira vez em Inglês por Charles Matthew Whish, nos anos 1830s, foi anunciado como a descoberta do cálculo dos indianos. Esta alegação e conquistas de Mādhava foram ignoradas pelos historiadores ocidentais, presumivelmente, em primeiro lugar porque não podiam admitir que um indiano descobriu o cálculo, mas mais tarde, porque ninguém mais leria as Transactions of the Royal Asiatic Society, na qual o artigo de Whish foi publicado. A questão ressurgiu na década de 1950, e agora temos os textos sânscritos devidamente editados, e entendemos a maneira inteligente que Mādhava derivou a série sem o cálculo; mas muitos historiadores ainda acham que é impossível conceber o problema e sua solução em termos de outra coisa senão o cálculo e proclamar que o cálculo é o que Mādhava encontrou. Neste caso, a elegância e o brilho da matemática de Mādhava estão sendo distorcidos como eles estão enterrados sob a solução matemática atual para um problema para o qual ele descobriu uma alternativa e uma solução poderosa."
  40. Katz 1995, pp. 173–174 Citação: "How close did Islamic and Indian scholars come to inventing the calculus? Islamic scholars nearly developed a general formula for finding integrals of polynomials by A.D. 1000—and evidently could find such a formula for any polynomial in which they were interested. But, it appears, they were not interested in any polynomial of degree higher than four, at least in any of the material that has come down to us. Indian scholars, on the other hand, were by 1600 able to use ibn al-Haytham's sum formula for arbitrary integral powers in calculating power series for the functions in which they were interested. By the same time, they also knew how to calculate the differentials of these functions. So some of the basic ideas of calculus were known in Egypt and India many centuries before Newton. It does not appear, however, that either Islamic or Indian mathematicians saw the necessity of connecting some of the disparate ideas that we include under the name calculus. They were apparently only interested in specific cases in which these ideas were needed. There is no danger, therefore, that we will have to rewrite the history texts to remove the statement that Newton and Leibniz invented the calculus. They were certainly the ones who were able to combine many differing ideas under the two unifying themes of the derivative and the integral, show the connection between them, and turn the calculus into the great problem-solving tool we have today."
    Tradução: "Quão perto estudiosos islâmicos e indianos estiveram de inventar o cálculo? Estudiosos islâmicos quase desenvolveram uma fórmula geral para a determinação de integrais de polinômios em 1000—e, evidentemente, poderiam encontrar uma fórmula para qualquer polinômio em que eles estavam interessados. Mas, ao que parece, eles não estavam interessados em qualquer polinômio de grau maior do que quatro, pelo menos, em qualquer parte do material que chegou até nós. Estudiosos indianos, por outro lado, eram em 1600 capazes de usar a fórmula da soma de ibne al-Haitam para potências arbitrárias integrais no cálculo de séries de potências para as funções em que estavam interessados. Ao mesmo tempo, eles também sabiam como calcular as diferenciais destas funções. Assim, algumas das ideias básicas de cálculo eram conhecidas no Egito e Índia muitos séculos antes de Newton. Não parece, no entanto, que os matemáticos islâmicos ou indianos viram a necessidade de ligar algumas das ideias díspares que incluímos sob o nome de cálculo. Eles estavam aparentemente interessados apenas em casos específicos nos quais essas ideias eram necessárias. Não há perigo, portanto, que tenhamos de reescrever os textos de história para remover a afirmação de que Newton e Leibniz tenham inventado o cálculo. Eles foram certamente os únicos que foram capazes de combinar muitas ideias diferentes ao abrigo dos dois temas unificadores da derivada e a integral, mostrando a conexão entre eles, e tornar o cálculo a grande ferramenta de resolução de problemas que temos hoje."
  41. José Gaspar (2013). «Matemática na África». 2013. Consultado em 21 de junho de 2015 
  42. Assim a turma aprende mesmo. Revista Nova Escola , nº 216. outubro de 2008
  43. [LIMA, Elon Lages. RPM 41 – Conceituação, manipulação e aplicações. Os componentes do ensino da Matemática]. Disponível em: rpm.org.br/cdrpm/41/1.htm. Acesso em: 13 de junho de 2018 às 19:30.
  44. [ÁVILA, Geraldo (1993). RPM 23 - O ensino de Matemática]. Disponível em: <www.rpm.org.br/cdrpm/23/1.htm>. Acesso em:11 de junho de 2018 às 11:00.

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