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Independência linear

termo matemático

Definição formalEditar

Um subconjunto   de um espaço vectorial   diz-se linearmente dependente se existe um subconjunto finito   de   e escalares   não todos nulos, tais que   O subconjunto   diz-se linearmente independente se para qualquer subconjunto finito   de   se tem   [2][3]

Nestas situações, diz-se também que os vectores do subconjunto   são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI), respectivamente. Com base nessa definição não é difícil de concluir que um subconjunto  é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores do conjunto é combinação linear dos demais. [4]

Algoritmos de verificaçãoEditar

Independência linear em conjuntos de vectoresEditar

Suponhamos que   é um conjunto de vectores de  , em que   e

     

Ainda, fixemos as constantes  , tais que

 

Por definição, se   for a única possibilidade para que a equação anterior seja verdadeira, então os vectores   serão linearmente independentes. Por outro lado, se qualquer uma das constantes admitir um valor diferente de zero, então o conjunto de vectores será linearmente dependente.[5]

Observe que podemos reescrever a equação

 

como

 

Efetuando as multiplicações, teríamos

 

que também poderia ser representada como segue

 

Assim, temos uma equação matricial da forma  , em que

    e  

Observe que a solução trivial ( ) é válida. Porém, é preciso descobrir se tal solução é única.[5] Para isso, podemos resolver o sistema por meio de operações elementares nas linhas da matriz aumentada

 

Logo, o conjunto de vectores será linearmente independente, caso o sistema linear tenha unicamente a solução trivial (todas as constantes valendo  ), ou seja, se o sistema for classificado como possível e determinado (SPD). Porém, se houverem infinitas soluções, de modo que o sistema seja classificado como possível e indeterminado (SPI), então o conjunto de vectores será linearmente dependente.[1][6]

Sendo assim, em  , é possível descobrir se um conjunto de vectores é linearmente independente ou não por meio da resolução de um sistema homogêneo.[7]

Independência linear em colunas de matrizesEditar

A partir de uma matriz  , pode-se verificar se suas colunas são linearmente independentes. Uma forma de realizar esta verificação, é por meio de uma equação da forma

 

a qual representa um sistema homogêneo na forma matricial, de modo que podemos definir se existem soluções não triviais para  . Se houverem vectores não nulos para   satisfazendo a equação  , então segue que as colunas de   são linearmente dependentes. Porém, caso a única solução seja  , então segue que as colunas de   são linearmente independentes.[8]

Casos especiaisEditar

Em alguns casos, não é necessário utilizar os algoritmos citados anteriormente, pois apenas analisando os vectores do conjunto é possível classificá-lo como linearmente dependente. Vejamos alguns casos citados a seguir.

Vector nuloEditar

Qualquer conjunto de vectores que contenha o vector nulo será linearmente dependente,[9] mesmo que tal conjunto seja unitário, isto é, mesmo que tenha apenas um vector.[8]

Por exemplo, suponha que  ,   e   sejam vectores não nulos de   e que  ,  ,   e   sejam constantes reais. Ainda, seja   o vector nulo de  , de modo que

 

Observe que fixando  , podemos variar   sem alterar o resultado da combinação, ou seja, as soluções para o sistema são infinitas. Generalizando esse raciocínio para uma quantidade arbitrária de vetores podemos concluir que qualquer conjunto de vectores que contenha o vector nulo é um conjunto linearmente dependente.[9]

Vectores múltiplosEditar

Conjuntos de vectores que contenham dois ou mais vectores múltiplos escalares entre si são conjuntos linearmente dependentes.[10] Isso decorre do fato de que, se existe algum vector do conjunto que é múltiplo de outro vector, então ele pode ser expresso como combinação linear dos demais vectores.[6]

Por exemplo, sejam   e  , com    e  . Note que  , ou seja,   e   são múltiplos e, portanto, temos a possível combinação linear  . Logo, o conjunto   é linearmente dependente.

Número de vectoresEditar

Em um espaço vectorial de dimensão finita, se o número de vectores do conjunto a ser verificado for superior à dimensão do espaço vetorial, então o conjunto será linearmente dependente. Assim, um conjunto com   vectores em   é linearmente dependente se  .[9]

De fato, seja   uma matriz de ordem  , com   e  . Note que a equação

 

é equivalente a um sistema de   equações e   incógnitas. Como  , haverá um número superior de variáveis do que equações e, portanto, o sistema linear homogêneo terá infinitas soluções. Deste modo, a equação   admite solução não trivial, caracterizando as colunas de   como linearmente dependentes. Logo, os vectores   são linearmente dependentes.[9]

DeterminanteEditar

Quando o número de vectores de um subconjunto de   for igual ao número de componentes de cada vector ( ), é possível utilizar o determinante para definir se o conjunto de vectores é linearmente dependente ou não. [4]

Para realizar uma verificação a partir de um determinante, basta utilizar cada vector do conjunto como sendo uma coluna (ou linha) de uma matriz   e, em seguida, calcular seu determinante. Se o resultado for igual a  , então o conjunto de vectores será linearmente dependente. Por outro lado, caso o determinante seja diferente de  , então o conjunto será linearmente independente. O conceito pode ser estendido para o caso de independência linear de colunas de matrizes quadradas.[11]

Caracterizações de independência linearEditar

Fixe  . Então, são equivalentes:[12]

  •   é linearmente independente.
  • O conjunto   é um gerador minimal para  . Ou seja, se  , então  
  • Sempre que   são distintos e  , então  
  • Toda combinação linear de elementos de   é única, no sentido de que se   são distintos, então
 

implica que  

  • Toda combinação linear de elementos de   é única, no sentido de que se
 

e

 

com todos os   distintos entre si, todos os   distintos entre si, e com todos os   e   não nulos, então  , e os índices de   e   podem ser rearranjados de modo que

 

PropriedadesEditar

  • Se   for uma base de um espaço vectorial   e   for um conjunto de vectores em  , tal que  , então o conjunto   é linearmente dependente.[7]

De fato, como o conjunto   forma uma base para o espaço vectorial  , segue que os vectores de   são linearmente independentes.[13] Ainda, o número de vectores do conjunto   é igual à dimensão de  . Logo, se   é um conjunto do espaço vectorial  , sendo que o número de vectores de   é maior que o número de vectores de  , segue que o número de vectores do conjunto   será maior que a dimensão de  , de modo que tal conjunto será linearmente dependente.[9]

  • Seja   um conjunto de dois ou mais vectores. Dizemos que   é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vectores de   for combinação linear dos demais.[14]

Demonstração:

Vamos mostrar que se pelo menos um dos vectores de   for combinação linear dos demais vectores, então   é linearmente dependente.

De fato, se   for uma combinação linear dos outros vectores de  , então podemos reordenar os vectores do conjunto, escrevendo   como

 

em que   são constantes que tornam a equação anterior válida. Perceba que é possível subtrair   em ambos os lados da equação

 

e assim

 

ou seja,

 

Como a equação anterior admite uma constante não nula, ou seja, como a equação

 

possui uma solução não trivial, segue pela definição que o conjunto   é linearmente dependente.

Agora, vamos verificar que se   é linearmente dependente, então pelo menos um dos vectores de   será combinação linear dos demais.

Caso  , então a equação

 

admite como solução   e, portanto, ao menos um dos vectores de   pode ser representado como combinação linear dos demais.

Porém, se  , então como   é linearmente dependente, existem constantes  , não todas nulas que satisfazem

 

Suponha que   seja o maior índice para o qual  . Observe que se   e  , teríamos um resultado inválido, pois   seria impossível. Logo   e, assim,

 

 

 

 

ou ainda,

 

o que comprova que ao menos um vector do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos demais.[15]

ExemplosEditar

 
Os vectores   e   são linearmente dependentes (são paralelos); os vectores   e   são linearmente independentes (formam uma base para o plano   da imagem); os vectores   e   são linearmente independentes (formam uma base para um espaço vetorial de três dimensões)
  • O conjunto vazio é linearmente independente.[16]
  • Um conjunto unitário cujo único elemento não é o vector nulo, é linearmente independente.[17]
  • Dois vectores de um plano são linearmente dependentes se e só se um for múltiplo do outro (isto é, se são colineares).[14]
  • Em  :
    • O conjunto {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é linearmente independente.[7]
    • O conjunto {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} é linearmente independente.[6]
    • Qualquer subconjunto de   com mais de três vectores é linearmente dependente.[9]
    • Três vectores não nulos e não colineares são linearmente dependentes se estiverem contidos em um mesmo plano.[18]
    • Três vectores são linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz em que cada vector está disposto em uma linha (ou coluna) for igual a zero.

ReferênciasEditar

  1. a b «3.1 Dependência e independência linear». REAMAT. 14 de novembro de 2018 
  2. Noble & Daniel, 1986, p. 89
  3. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 67–68
  4. a b ANTON, Howard; RORRES, Chris (2001). Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman 
  5. a b LAY, David C. (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 45. ISBN 9788521622093 
  6. a b c Viegas, Gustavo (19 de maio de 2017). «Conjuntos LI ou LD». Toda a Matemática 
  7. a b c Oliveira, Samuel Rocha de; Maia Jr., Adolfo (23 de março de 2015). «Geometria Analítica e Álgebra Linear - Aula 17 - Independência linear. Base e dimensão». UNIVESP 
  8. a b LAY, David C. (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 46. ISBN 9788521622093 
  9. a b c d e f LAY, David C. (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 48. ISBN 9788521622093 
  10. LAY, David C. (2013). Álgebra Linear e suas aplicações 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. pp. 46–47. ISBN 9788521622093 
  11. «Apontamentos Álgebra Linear: 3 – Determinantes» (PDF). Nova School of Business and Economics 
  12. CALDAS, André (2018). Introdução a Álgebra Linear com álgebra e geometria. [S.l.: s.n.] pp. 144–145 
  13. Viegas, Gustavo (23 de maio de 2017). «Base de um espaço vetorial». Toda a Matemática 
  14. a b LAY, David C. (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 47. ISBN 9788521622093 
  15. LAY, David C. (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. Rio de Janeiro: LTC. pp. 48–49. ISBN 9788521622093 
  16. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 68
  17. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 74
  18. «Álgebra Linear: Introdução a independência linear.». Khan Academy em Português. 6 de novembro de 2014 

BibliografiaEditar

  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975 
  • Noble, Ben; James W. Daniel (1986). Álgebra Linear Aplicada. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil. ISBN 9788570540225 

Ver tambémEditar

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
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