Integração por substituição

Em cálculo, integração por substituição, também conhecido como substituição u ou mudança de variáveis, é um método para calcular integrais e antiderivadas. É a contraparte da regra da cadeia para derivadas, e pode ser vagamente considerada como o uso da regra da cadeia "para trás".

Substituição para uma única variável

Introdução

Antes de estabelecer o resultado rigorosamente, consideremos um caso simples usando integral indefinida.

Calcular $\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx$.

Definir $u=2x^{3}+1$. Isto significa que $\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2}$, ou, na forma diferencial $du=6x^{2}\,dx$. Assim

$\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C$,

onde $C$ é uma constante arbitrária de integração.

Este procedimento é usado frequentemente, porém nem todas as integrais são de uma forma que permita seu uso. De qualquer forma, o resultado deve ser verificado mediante derivação e comparação com o integrando original.

${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).$

Para integrais definidas os limites de integração também devem ser ajustados, mas o procedimento é basicamente o mesmo.

Integrais definidas

Seja φ : [a,b] → I uma função diferenciável com derivada contínua, onde I ⊆ R é um intervalo. Suponha que f : I → R é uma função contínua. Então

$\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du.$

Na notação de Leibniz, a substituição u = φ(x) fornece

${\frac {du}{dx}}=\varphi '(x).$

Trabalhando euristicamente com infinitesimais resulta a equação

$du=\varphi '(x)\,dx,$

que sugere a fórmula de substituição acima. (Esta equação pode ser colocada em uma base rigorosa interpretando-a como uma afirmação sobre formas diferenciais.) Pode-se ver o método de integração por substituição como uma justificativa parcial da notação de Leibniz para integrais e derivadas.

A fórmula é usada para transformar uma integral em outra integral que seja mais fácil de calcular. Assim, a fórmula pode ser lida da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda para simplificar uma dada integral. Quando usada da maneira anterior, às vezes é conhecido como substituição u ou substituição w, em que uma nova variável é definida como uma função da variável original encontrada dentro da função composta multiplicada pela derivada da função interna. A última maneira é comumente usada na substituição trigonométrica, substituindo a variável original por uma função trigonométrica de uma nova variável e o diferencial original pelo diferencial da função trigonométrica.

Prova

A integração por substituição pode ser demonstrada a partir do teorema fundamental do cálculo como segue. Sejam f e φ duas funções satisfazendo as hipóteses acima de que f é contínua sobre I e φ′ é integrável sobre o intervalo fechado [a,b]. Então a função f(φ(x))φ′(x) é também integrável sobre [a,b]. Portanto as integrais

$\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx$

e

$\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du$

existem de fato, e resta mostrar que as mesmas são iguais.

Como f é contínua, a mesma possui a antiderivada F. A função composta F ∘ φ é então definida. Dado que φ é diferenciável, combinando a regra da cadeia e a definição de uma antiderivada resulta

$(F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x))\varphi '(x)=f(\varphi (x))\varphi '(x).$

Aplicando o teorema fundamental do cálculo duas vezes resulta

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du,\end{aligned}}$

que é a regra da substituição.

Exemplos

Exemplo 1

Considere a integral

$\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx.$

Faça a substituição $u=x^{2}+1$ para obter $du=2xdx$, significando $\textstyle xdx={\frac {1}{2}}du$. Portanto,

${\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\operatorname {sen}(5)-\operatorname {sen}(1)).\end{aligned}}$

Como o limite inferior $x=0$ foi substituído por $u=1$ e o limite superior $x=2$ por $2^{2}+1=5$, uma transformação de volta em termos de $x$ não é necessária.

Bibliografia

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• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, ISBN 978-0-8053-9021-6, Westview Press .

Ligações externas

• Integration by substitution at Encyclopedia of Mathematics
• Area formula at Encyclopedia of Mathematics