Integração por substituição

método para calcular integrais e antiderivadas

Em cálculo, integração por substituição, também conhecido como substituição u ou mudança de variáveis,[1] é um método para calcular integrais e antiderivadas. É a contraparte da regra da cadeia para derivadas, e pode ser vagamente considerada como o uso da regra da cadeia "para trás".

Substituição para uma única variávelEditar

IntroduçãoEditar

Antes de estabelecer o resultado rigorosamente, consideremos um caso simples usando integral indefinida.

Calcular  .[2]

Definir  . Isto significa que  , ou, na forma diferencial  . Assim


 ,

onde   é uma constante arbitrária de integração.

Este procedimento é usado frequentemente, porém nem todas as integrais são de uma forma que permita seu uso. De qualquer forma, o resultado deve ser verificado mediante derivação e comparação com o integrando original.

 

Para integrais definidas os limites de integração também devem ser ajustados, mas o procedimento é basicamente o mesmo.

Integrais definidasEditar

Seja φ : [a,b] → I uma função diferenciável com derivada contínua, onde IR é um intervalo. Suponha que {math|f : IR}} é uma função contínua. Então[3]

 

Na notação de Leibniz, a substituição u = φ(x) fornece

 

Trabalhando euristicamente com infinitesimais resulta a equação

 

que sugere a fórmula de substituição acima. (Esta equação pode ser colocada em uma base rigorosa interpretando-a como uma afirmação sobre formas diferenciais.) Pode-se ver o método de integração por substituição como uma justificativa parcial da notação de Leibniz para integrais e derivadas.

A fórmula é usada para transformar uma integral em outra integral que seja mais fácil de calcular. Assim, a fórmula pode ser lida da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda para simplificar uma dada integral. Quando usada da maneira anterior, às vezes é conhecido como substituição u ou substituição w, em que uma nova variável é definida como uma função da variável original encontrada dentro da função composta multiplicada pela derivada da função interna. A última maneira é comumente usada na substituição trigonométrica, substituindo a variável original por uma função trigonométrica de uma nova variável e o diferencial original pelo diferencial da função trigonométrica.

ProvaEditar

A integração por substituição pode ser demonstrada a partir do teorema fundamental do cálculo como segue. Sejam f e φ duas funções satisfazendo as hipóteses acima de que f é contínua sobre I e φ é integrável sobre o intervalo fechado [a,b]. Então a função f(φ(x))φ′(x) é também integrável sobre [a,b]. Portanto as integrais

 

e

 

existem de fato, e resta mostrar que as mesmas são iguais.

Como f é contínua, a mesma possui a antiderivada F. A função composita Fφ é então definida. Dado que φ é diferenciável, combinando a regra da cadeia e a definição de uma antiderivada resulta

 

Aplicando o teorema fundamental do cálculo duas vezes resulta

 

que é a regra da substituição.

ExemplosEditar

Exemplo 1Editar

Considere a integral

 

Faça a substituição   para obter  , significando  . Portanto,

 

Como o limite inferior   foi substituído por   e o limite superior   por  , uma transformação de volta em termos de   não é necessária.



Referências

BibliografiaEditar

Ligações externasEditar