Regra do produto

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Disambig grey.svg Nota: Se procura pela regra do princípio da contagem, veja Regra do produto (combinatória).

Em matemática, a regra do produto, também designada por "lei de Leibniz", é uma regra que permite a diferenciação de produtos de funções diferenciáveis. Esta regra diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.[1]

Formalmente, a regra pode ser apresentada da seguinte maneira: sejam f e g duas funções diferenciáveis. Então,

Em linguagem matemática Em português
A derivada do produto de f por g é igual à soma de dois produtos: 1) a derivada de f vezes a função g e 2) a derivada de g vezes a função f
Ou, o que é a mesma coisa,

ou, segundo a notação de Leibniz:

A derivada do produto de três variáveis, por sua vez, é, ainda na notação de Leibniz:

Demonstração simplificada, e ilustrada geometricamente[2]Editar

 
Figura 1. Ilustração geométrica da régra do produto.

Sejam   e   duas funções diferenciáveis de  . Definindo    e   , a área   do retângulo (ver Figura 1) é representada por  .

se   varia por  , as variações correspondentes em   e   são designadas por   e  .

A variação da área do retângulo é então:

 

isto é, a soma das três áreas sombreadas na Figura 1.

Dividindo por   :

 

E tomando o limite  , obtém-se:

 

ExemploEditar

Seja uma função  . Note que esta função é na verdade o produto de duas funções, que podemos chamar de f e g, sendo f(x)=x e  . Para derivar h(x), utilizamos a regra do produto:

 

Substituindo f(x) por x, g(x) por e  , a derivada de g(x) por   (pois a derivada de   é  ) e a derivada de f(x) por 1, teremos:

 

Referências

  1. STEWART, James. Cálculo - volume 1. 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 190.
  2. A parte algébrica da seguinte demonstração é equivalente à apresentada no livro Calculus: An Introductory Approach (1961), de Ivan Niven, nas páginas 75 e 76.

Ver tambémEditar

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