Regra do produto

 Nota: Se procura pela regra do princípio da contagem, veja Regra do produto (combinatória).

Em matemática, a regra do produto, também designada por "lei de Leibniz", é uma regra que permite a diferenciação de produtos de funções diferenciáveis. Esta regra diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.

Formalmente, a regra pode ser apresentada da seguinte maneira: sejam f e g duas funções diferenciáveis. Então,

Em linguagem matemática	Em português
$(fg)'=f'g+fg'$	A derivada do produto de f por g é igual à soma de dois produtos: 1) a derivada de f vezes a função g e 2) a derivada de g vezes a função f
Ou, o que é a mesma coisa, ${d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=g(x){{d \over dx}\left[f(x)\right]}+f(x){{d \over dx}\left[g(x)\right]}$

ou, segundo a notação de Leibniz:

${d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}.$

A derivada do produto de três variáveis, por sua vez, é, ainda na notação de Leibniz:

${\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+{\dfrac {dv}{dx}}\cdot u\cdot w+{\dfrac {dw}{dx}}\cdot u\cdot v$

Demonstração simplificada, e ilustrada geometricamente

Figura 1. Ilustração geométrica da régra do produto.

Sejam $f$ e $g$ duas funções diferenciáveis de $x$. Definindo $u=f(x)$  e  $v=g(x)$, a área $uv$ do retângulo (ver Figura 1) é representada por $f(x)g(x)$.

se $x$ varia por $\Delta x$, as variações correspondentes em $u$ e $v$ são designadas por $\Delta u$ e $\Delta v$.

A variação da área do retângulo é então:

${\begin{aligned}\Delta (uv)&=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv\\&=(\Delta u)v+u(\Delta v)+(\Delta u)(\Delta v),\end{aligned}}$

isto é, a soma das três áreas sombreadas na Figura 1.

Dividindo por $\Delta x$ :

${\frac {\Delta (uv)}{\Delta x}}=\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)v+u\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)+\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)\left({\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right)\Delta x.$

E tomando o limite $\Delta x\rightarrow 0$, obtém-se:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(uv)=\left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\right)v+u\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\right).$

Exemplo

Seja uma função $h(x)=xe^{x}$. Note que esta função é na verdade o produto de duas funções, que podemos chamar de f e g, sendo f(x)=x e $g(x)=e^{x}$. Para derivar h(x), utilizamos a regra do produto:

${d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=g(x)\cdot {{d \over dx}\left[f(x)\right]}+f(x)\cdot {{d \over dx}\left[g(x)\right]}=$

Substituindo f(x) por x, g(x) por e $e^{x}$, a derivada de g(x) por $e^{x}$ (pois a derivada de $e^{x}$ é $e^{x}$) e a derivada de f(x) por 1, teremos:

$={d \over dx}\left[f(x)g(x)\right]=e^{x}\cdot 1+x\cdot e^{x}=(x+1)e^{x}$

Ver também

• Derivada
• Função composta
• Integral
• Cálculo