Abrir menu principal

A lei dos cossenos é uma parte da generalização do Teorema de Pitágoras, que pode ser utilizada em situações envolvendo qualquer triângulo, isto é, não necessariamente restritas a triângulos retângulos.[1] Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos e com medidas respectivamente e valem as relações:[1]

DemonstraçãoEditar

A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:

Forma GeométricaEditar

Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:[2]

 .

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:

 

e

 .

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:[2]

 

e para BAD:

 

Substituindo:

 

e

 

em

 

teremos:

 
 
 

Entretanto, pode-se substituir a relação  , do triângulo  , na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

 

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

 
 

Forma VetorialEditar

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: definimos um vetor   como sendo igual a   temos um triângulo formado pela soma   e o resultante  . Sabendo que   e   sendo   o ângulo entre os vetores   e   temos o seguinte desenvolvimento:

 
Triângulo formado por vetores

 

 

 

 

A lei dos cossenos, formulada nesta notação, pode ser escrita como:

 

Que é claramente equivalente à fórmula acima derivada da teoria dos vetores.

Já que   é o ângulo formado entre os vetores   e   e considerando que o ponto da origem de   é o mesmo da origem de  , dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor  , logo formando um ângulo  .

Forma MatricialEditar

 
Lei dos Cossenos

Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno, as seguintes relações:

 

 

Somando as duas equações, como  , obtêm-se a relação:   . Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, teríam-se:

 

 

 

Que consistem em um Sistema Linear, cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer, para tanto, temos:

Matriz dos Coeficientes (M):  

Matriz não Alterada na Coluna da Varíavel   (X):  

Assim, é válida a igualdade   e, portanto:

  =   e, analogamente:

 

 

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b Marcos Noé. «Lei do cosseno». R7. Brasil Escola. Consultado em 12 de maio de 2013 
  2. a b Thyago Ribeiro (03 de junho de 2008). «Lei dos Senos e dos Cossenos». InfoEscola. Consultado em 12 de maio de 2013  Verifique data em: |data= (ajuda)

Ligações externasEditar