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Em trigonometria, a lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Em um triângulo qualquer, inscrito em uma circunferência de raio , de lados , e , que medem respectivamente , e , com ângulos internos , e vale a seguinte relação:

Trigonometria

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DemonstraçãoEditar

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.

Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar à conclusão que  , porque determinam na circunferência uma mesma corda  . Desta forma, podemos relacionar:

 
 
 

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos   e   teremos as relações:

  e  


em que b é a medida do lado AC, oposto a  , c é a medida do lado AB, oposto a  , e 2r é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

 


Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um triângulo formado pela soma   e o resultante   e os ângulos  ,  e   correspondendo respectivamente aos vetores   e  ,   e  ,   e  . Sabendo que o dobro da área, representada por  , do triângulo formado entre os vetores   e   é calculada com o módulo do produto vetorial entre eles e que:


 


Sendo   o ângulo entre os vetores   e  , dessa forma temos o seguinte desenvolvimento:


 
 
 
 

Que pode ser representado como a lei dos senos que conhecemos:

 


Pois é uma relação possível de se inverter.

Trigonometria esféricaEditar

 Ver artigo principal: Trigonometria esférica
 
Lei dos senos para um triângulo esférico

Em um triângulo esférico existe uma lei muito parecida:

 

A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite,  .

Ver tambémEditar


Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
  Livros e manuais no Wikilivros