Lema de Borel-Cantelli

Em teoria das probabilidades, o lema de Borel–Cantelli é um teorema sobre sequências de eventos. Em geral, é um resultado na teoria da medida. É nomeado em referência a Émile Borel e Francesco Paolo Cantelli.

Estabelecimento do lema para espaços de probabilidadeEditar

Fazendo-se (En) ser uma sequência de eventos em algum espaço de probabilidade.

O lema de Borel–Cantelli estabelece:

Se a soma das probabilidade de En é finita
 
então a probabilidade que infinitamente muitos deles ocorram é 0, que é,
 

Aqui, "lim sup" denota limite superior da sequência de eventos, e cada evento é um conjunto de resultados. Isto é, lim sup En é o conjunto de resultados que ocorrem infinitamente muitas vezes dentro da sequência de eventos infinita (En). Explicitamente,

 

O teorema entretanto afirma que se a soma das probabilidades dos eventos En é finita, então o conjunto de todos os resultados que são "repetidos" infinitamente (muitas vezes) devem ocorrer com probabilidade zero. Note-se que nenhuma suposição de independência é requerida.

ExemploEditar

Por exemplo, supondo que (Xn) seja uma sequência de variáveis aleatórias com Pr(Xn = 0) = 1/n2 para cada n. A probabilidade que Xn = 0 ocorre por infinitamente muitos n é equivalente à probabilidade da intersecção de infinitamente muitos [Xn = 0] eventes. A intersecção de tais infinitamente muitos eventos é um conjunto de resultados comuns a todos eles. Entretanto, a soma ∑Pr(Xn = 0) é uma série convergente (de fato, é uma função zeta de Riemann que tende a π2/6), e então o lema de Borel–Cantelli Lemma estabelece que o conjunto de resultados que são comuns a tais infinitamente muitos eventos ocorrem com probabilidade zero. Por isso, a probabilidade de Xn = 0 ocorrendo para infinitamente muitos n é 0. Quase certamente (i.e., com probabilidade 1), Xn é não nula para todos mas finitamente muitos n.

Espaços de medida geraisEditar

Para espaços de medida gerais, o lema de Borel–Cantelli toma a seguinte forma:

Deixa μ ser uma medida sobre um conjunto X, com σ-álgebra F, e fazendo (An) ser uma sequência em F. Se
 
então
 

Resultado de conversãoEditar

Um resultado relacionado, algumas vezes chamado o segundo lema de Borel–Cantelli, é um conversão parcial do primeiro lema de Borel–Cantelli. Ele diz:

Se os eventos En são independente e a soma de probabilidades de En diverge do infinito, então a probabilidade que infinitamente muitos deles ocorram é 1.

A suposição de independência pode ser enfraquecido a independência paritária, mas neste caso a demonstração é mais difícil.

O teorema do macaco infinito é um caso especial deste lema.

O lema pode ser aplicado para dar cobertura ao teorema em Rn. Especificamente (Stein 1993, Lemma X.2.1[1]), se Ej é uma coleção de subconjuntos mensurávei de Lebesgue de um conjunto compacto em Rn tais que

 

então existe uma sequência Fj de transformações

 

tais que

 

à parte de um conjunto de medida zero.

Contrapartida[2]Editar

Outro resultado relacionado é o assim chamado contrapartida do lema de Borel–Cantelli. É uma contrapartida do Lema no sentido que fornece uma condição necessária e suficiente para o limite superior ser 1 por substituir uma suposição de independência pela suposição completamente diferente que   é monótona crescendo para índices suficientemente grandes. Este Lema afirma:

Fazendo-se   ser tal que  , e fazendo   denotar o complemento de  . Então a probabilidade de infinitamente muitos   ocorre (que é, ao menos um   ocorre) é um se e somente se existe uma sequência estritamente crescente de inteiros positivos   tal que

 

Este simples resultado pode ser útil em problemas tais como no caso daqueles que envolvem precisar probabilidades para processos estocásticos com a escolha da sequência   normalmente sendo a essencial.

Referências

  1. Stein, Elias (1993), Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press .
  2. Bruss, F. Thomas (dezembro de 1980). «A counterpart of the Borel-Cantelli lemma». Journal of Applied Probability (em inglês). 17 (4): 1094–1101. ISSN 0021-9002. doi:10.2307/3213220 

Ligações externasEditar

Ver tambémEditar