Limite de uma sequência

valor para o qual tendem os termos de uma sequência

O limite de uma sequência é um dos conceitos mais antigos de análise matemática. A mesma dá uma definição rigorosa à idéia de uma sequência que converge até um ponto chamado limite.

De forma intuitiva, supondo que tem-se uma sequência de pontos (por exemplo, um conjunto infinito de pontos numerados utilizando os números naturais) em algum tipo de objeto matemático (por exemplo, os números reais ou um espaço vetorial) que admite o conceito de vizinhança (no sentido de "todos os pontos dentro de uma certa distância de um dado ponto fixo"). Um ponto L é o limite da sequência se para toda a vizinhança que se defina, todos os pontos da sequência (com a possível exceção de um número finito de pontos) estão próximos a L. Isto pode ser interpretado como se houvesse um conjunto de esferas de tamanhos decrescentes até zero, todas centradas em L, e para qualquer destas esferas, só existiria um número finito de números fora dela.

Definição formalEditar

  • Para uma sequência de pontos   em um espaço métrico   com função de distância  [1]
(como por exemplo, uma sequência de números racionais, números reais, números complexos, pontos em um espaço normado, etc.):
Diz-se que   é o limite da sequência e escreve-se
 
se, e somente se:
 
i.e.: se, e somente se, para todo número real  , existe um número natural   tal que para cada   tem-se  
i.e: dado  , existe N tal que  [2]
  • Uma generalização desta relação, para uma sequência de pontos   em um espaço topológico  :
Diz-se que   é um limite desta sequência[1] e escreve-se
 
se, e somente se, para toda a vizinhança   de   existe um número natural   tal que para cada   tem-se  .

Se uma sequência tem limite, diz-se que a sequência é convergente, e que a sequência converge ao limite. Caso contrário, a sequência é divergente.

ComentáriosEditar

A definição significa que eventualmente todos os elementos da sequência aproximam-se tanto como queiramos ao valor limite. (A condição que impõe que os elementos encontrem-se arbitrariamente próximos aos elementos subsequentes não implica, em geral, que a sequência tenha um limite. Veja sucessão de Cauchy).

É possível também que uma sequência em um espaço topológico geral, possa ter vários limites diferentes, mas uma sequência convergente possui um único limite se T é um espaço de Hausdorff, por exemplo, a reta real (estendida), o plano complexo, seus subconjuntos (R, Q, Z...) e produtos cartesianos (Rn...).

ExemplosEditar

  • A sequência (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, …) de números reais converge ao limite 0.
  • A sequência (1, -1, 1, -1, 1, …) é divergente.
  • A sequência (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, …) converge ao limite 1. Este é um exemplo de uma série infinita.
  • Se a é um número real com valor absoluto |a| < 1, então a sequência an possui limite 0. Se 0 < a ≤ 1, então a sequência a1/n possui limite 1.
  • Também:
 
 
 
 

Realizando um processo mais detalhado, vamos verificar que o limite de   é 3.

Dado  

 

Perceba que  , pois n é natural. Logo:

 

desde que  , comprovando o limite.

Com isso, podemos afirmar que, dado  , existe  , tal que:

 

Resultados do limiteEditar

Os limites de sequências possuem os seguintes resultados[3]:

Todo limite de uma sequência é um valor único, ou seja, se   tem limite para um número real A e, também, um número real B, então  .

Se uma sequência   tende a L, então toda subsequência de   convergirá para esse mesmo número L.

Toda sequência convergente é limitada

Toda sequência monótona e limitada converge. Disso, também podemos afirmar que se uma subsequência de  , sendo   monótona, converge para L, então   é convergente.

Se uma sequência tem um limite positivo, é garantido que, a partir de uma certa ordem, seus termos são positivos. O mesmo é válido para um limite negativo, onde a partir de uma ordem o termo será negativo.

Dadas duas sequências   e   convergentes. Assim, se  , para qualquer ordem n,  . A mesma relação vale para uma constante qualquer.

Dadas as sequências  , para todos os termos. Se o limite de   e   são iguais a L, temos que o limite de   é L

Teorema de Bolzano-WeierstrassEditar

 Ver artigo principal: Teorema de Bolzano-Weierstrass

Toda sequência que é limitada possui uma subsequência convergente.[2]

Limite superior e limite inferiorEditar

 Ver artigo principal: Limite superior e limite inferior

Se uma subsequência de uma sequência possui como limite um valor L, dizemos que L é um ponto de aderência, ou valor de aderência, ou ponto aderente.[2]

O maior desses pontos aderentes é o limite superior ( ). Analogamente, o menor é o limite inferior ( ).

Toda sequência limitada   possui um ponto aderente máximo A (o maior limite de uma subsequência) e um ponto aderente mínimo a (o menor limite de uma subsequência), onde:

  • Qualquer que seja  , existem infinitos índices n tais que   e somente um número finito com  ;
  • Qualquer que seja  , existem infinitos índices n tais que   e somente um número finito com  

Da mesma forma, é garantido que uma sequência limitada   converge para L se, e somente se, os limites superior e inferior são iguais a L.

Um exemplo para verificarmos os limites superiores e inferiores é a sequência  

  Vamos definir as subsequências:   , logo -1 é ponto de aderência e, ao ser o menor, é o limite inferior.  , logo 1 é ponto de aderência e, ao ser o maior, é o limite superior.

Propriedades aritméticas do limiteEditar

Dadas duas sequências convergentes   e  , onde   e  [2]. Logo, as sequências   são convergentes, sendo k um número real qualquer.

Podemos também afirmar que:

  1.  ;
  2.  . Caso  , temos que:  
  3.  
  4. Caso  , podemos também afirmar que  

Limites infinitosEditar

Quando uma sequência segue uma regularidade de comportamento de tal forma que o termo se torna arbitrariamente grande enquanto aumenta o índice, temos que a sequência diverge para infinito positivo. Quando se torna muito pequeno enquanto aumenta o índice, a sequência diverge para infinito negativo.[2]

Uma sequência   diverge para   se, dado  , existe N tal que  . Ao divergir para   temos que, dado  , existe N tal que  .

Os limites infinitos também possuem propriedades aritméticas:

  1.  .
  2. Sendo   uma sequência não limitada e monótona. Se não decrescente, ela tende a   e sendo não crescente tende a  .
  3.  .
  4.   se   ou   respectivamente.
  5. Dado   e   limitada, então  , respectivamente.
  6. Se   e  , com c um número positivo, então  .
  7. Se   e  , com c um número positivo, então  .
  8. Se   e  , então  .

Critério de convergência de CauchyEditar

O critério de convergência de Cauchy auxilia em perceber se uma sequência é convergente sem conhecer o limite. Temos que se um sequência é convergente se, e somente se, qualquer que seja  , existe N tal que:   Da mesma forma, podemos dizer que dado  , existe um índice N tal que, para todo inteiro positivo p,  

Ver tambémEditar

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  1. a b Royden, Halsey (1968). Real Analysis 3. ed. [S.l.]: Macmillan. ISBN 9780024041517 
  2. a b c d e Ávila, Geraldo Severo de Souza (1999). Introdução à análise matemática 2. ed. São Paulo: Blucher. ISBN 9788521201687 
  3. Lima, Elon Lages (2014). Curso de Análise 1 14. ed. Rio de Janeiro: IMPA. ISBN 9788524401183