Limite de uma sequência

valor para o qual tendem os termos de uma sequência

O limite de uma sequência é um dos tópicos mais antigos de análise matemática, a qual formaliza rigorosamente o conceito de sequência convergente.

De forma intuitiva, supondo que tem-se uma sequência de pontos (por exemplo, um conjunto infinito de pontos numerados utilizando os números naturais) em algum tipo de objeto matemático (por exemplo, os números reais ou um espaço vetorial) que admite o conceito de vizinhança (no sentido de "todos os pontos dentro de uma certa distância de um dado ponto fixo"). Um ponto L é o limite da sequência se para toda a vizinhança que se defina, todos os pontos da sequência (com a possível exceção de um número finito de pontos) estão próximos a L. Isto pode ser interpretado como se houvesse um conjunto de esferas de tamanhos decrescentes até zero, todas centradas em L, e para qualquer destas esferas, só existiria um número finito de números fora dela.

Definição formalEditar

Para uma sequência de pontos   em um espaço métrico   com função de distância  [1] (como por exemplo, uma sequência de números racionais, números reais, números complexos, pontos em um espaço normado, etc) diz-se que   é o limite da sequência e escreve-se

 

se, e somente se

 

ou seja, se, e somente se, para todo número real  , existe um número natural   tal que para cada   tem-se  , o que equivale a dizer que, para o caso real, dado  , existe   tal que  [2].

Uma generalização desta relação, para uma sequência de pontos  em um espaço topológico  : diz-se que   é um limite desta sequência[1] e escreve-se

 

se, e somente se, para toda a vizinhança   de   existe um número natural   tal que para cada   tem-se  .

Se uma sequência tem limite, diz-se que a sequência é convergente, e que a sequência converge ao limite. Caso contrário, a sequência é divergente.

ComentáriosEditar

A definição significa que eventualmente todos os elementos da sequência aproximam-se tanto como queiramos ao valor limite. A condição que impõe que os elementos encontrem-se arbitrariamente próximos aos elementos subsequentes não implica, em geral, que a sequência tenha um limite (veja sucessão de Cauchy).

É possível, também, que uma sequência em um espaço topológico geral, possa ter vários limites diferentes, mas uma sequência convergente possui um único limite se T é um espaço de Hausdorff, por exemplo, a reta real (estendida), o plano complexo, seus subconjuntos (R, Q, Z...) e produtos cartesianos (Rn...).

ExemplosEditar

  • A sequência (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, …) de números reais converge ao limite 0;
  • A sequência (1, -1, 1, -1, 1, …) é divergente;
  • A sequência (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, …) converge ao limite 1 (este é um exemplo de uma série infinita);
  • Se a é um número real com valor absoluto |a| < 1, então a sequência an possui limite 0;
  •  ;
  •  ;
  •  .
  • No caso de uma sequência de números reais   pode-se verificar, a partir da definição, que o seu limite é  . De fato, nota-se que, dado  ,
 

e que, além disso,

 ,

de modo que

 

desde que  . Em outras palavras, dado  , existe  , tal que:

 .

Resultados para o caso de sequências de números reaisEditar

Destacam-se os seguintes resultados para limites de sequências[3]:

  • Todo limite de uma sequência é um valor único, ou seja, se   tende a um número real   e, também, a um número real  , então  ;
  • Se uma sequência   tende a  , então toda subsequência de   convergirá para esse mesmo número  ;
  • Toda sequência convergente é limitada;
  • Toda sequência monótona e limitada converge (disso, segue que se uma subsequência da sequência monótona   converge para  , então   é convergente e tem limite  );
  • Se uma sequência tem um limite positivo, é garantido que todos os termos desta sequência são positivos a partir de um certo índice (resultado análogo vale para o caso de a sequência ter limite negativo);
  • Para duas sequências   e   convergentes, com  , tem-se  , sendo possível substituir qualquer uma das sequências por uma constante qualquer.
  • Para sequências   em que   e   têm limite  , segue que o limite de   é  ;
  • Toda sequência que é limitada possui uma subsequência convergente (Teorema de Bolzano-Weierstrass).[2]
 Ver artigo principal: Teorema de Bolzano-Weierstrass

Limite superior e limite infeiorEditar

Destacam-se os seguintes resultados para limites de sequências[3]:

 Ver artigo principal: Limite superior e limite inferior

Se uma subsequência de uma sequência possui como limite um valor  , dizemos que   é um ponto de aderência, ou valor de aderência, ou ponto aderente da sequência.[2] O maior desses pontos aderentes é o limite superior ( ) e o menor é o limite inferior ( ).

Toda sequência limitada   possui um ponto aderente máximo   (o maior limite de uma subsequência) e um ponto aderente mínimo   (o menor limite de uma subsequência), onde:

  • Qualquer que seja  , existem infinitos índices   tais que   e somente um número finito com  ;
  • Qualquer que seja  , existem infinitos índices   tais que   e somente um número finito com  .

Da mesma forma, é garantido que uma sequência limitada   converge para   se, e somente se, os limites superior e inferior são iguais a  .

ExemploEditar

Considerando a sequência  nota-se que as únicas subsequências convergentes são da forma   ou  , de modo que   e   são os únicos pontos de aderência de  . Assim,   e  .

Propriedades aritméticas do limiteEditar

Dadas duas sequências convergentes   e  , onde   e  , as sequências   são convergentes, sendo   um número real qualquer[2]. Ainda,

  1.  ;
  2.  . Caso  , temos que:  ;
  3.  
  4.  , desde que  .

Limites infinitosEditar

Quando uma sequência segue uma regularidade de comportamento de tal forma que o termo se torna arbitrariamente grande enquanto aumenta o índice, temos que a sequência diverge para infinito positivo. Quando se torna muito pequeno enquanto aumenta o índice, a sequência diverge para infinito negativo[2] . Formalmente, uma sequência   diverge para   se, dado  , existe   tal que   e diverge para   se, dado  , existe   tal que  .

Os limites infinitos também possuem propriedades aritméticas:

  1.  ;
  2. Uma sequência   não limitada e monótona tende a   se for não decrescente e tende a   se for não crescente;
  3.  ;
  4.   se   ou   respectivamente;
  5. Se   e   é limitada, então  , respectivamente;
  6. Se   e  , com   um número positivo, então  ;
  7. Se   e  , então  ;
  8. Se   e  , então  .

Critério de convergência de CauchyEditar

O critério de convergência de Cauchy auxilia na verificação da convergência de uma sequência, sem fornecer o valor do limite, caso ele exista. Ele afirma que uma sequência de números reais é convergente se, e somente se, qualquer que seja  , exista   tal que:

 ,

o que equivale a afirmar que, dado  , existe   tal que, para todo inteiro positivo  :

 .

Ver tambémEditar

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  1. a b Royden, Halsey (1968). Real Analysis 3. ed. [S.l.]: Macmillan. ISBN 9780024041517 
  2. a b c d e Ávila, Geraldo Severo de Souza (1999). Introdução à análise matemática 2. ed. São Paulo: Blucher. ISBN 9788521201687 
  3. a b Lima, Elon Lages (2014). Curso de Análise 1 14. ed. Rio de Janeiro: IMPA. ISBN 9788524401183