Limite superior e limite inferior

Em matemática, sobretudo na análise, o conceito de limite assume fundamental importância. Nem toda sequência real, no entanto, possui um limite bem definido. O limite superior e o limite inferior, não obstante, estão sempre bem definidos.

Uma ilustração dos limites superior e inferior. A sequência xn é mostrada em azul.

Quando uma sequência é convergente, o limite, o limite inferior e o. limite superior coincidem. Reciprocamente, uma sequência possui limite quando o limite inferior coincide com o limite superior.

Também se definem limite superior e limite inferior para sequências de conjuntos.

Notação e definiçãoEditar

Considere uma sequência   de números reais qualquer. Defina a sequência auxiliar:

 

A sequência   é claramente não-crescente, pois é supremo de uma família cada vez menor de números reais. Por ser uma sequência monótona, seu limite existe (podendo ser infinito se cada   for infinito) é o ínfimo da sequência.

O limite superior de   é então definido o limite da sequência  . Denota-se:

  •  

E, de forma perfeitamente análoga, define-se o limite inferior:

  •  

PropriedadesEditar

Sejam   e   sequências de números reais, então valem as afirmações:

  •  
  •  
  •  
  •  
  • Seja   uma subsequência de   que possua limite, então  

Limite superior e inferior de uma sequência de conjuntosEditar

Em algumas situações, sobretudo na teoria da medida, é conveniente definir os conceitos de limite superior e inferior para uma sequência de conjuntos.

Se   é uma sequência de conjuntos, então define-se:

  • O limite superior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a uma infinidade de conjuntos  .
  • O limite inferior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a cada um dos   exceto por um número finito deles.

Pode-se mostrar que estas definições coincidem com as seguintes:

  •  
  •  

É sempre verdade que  . Quando estes conjuntos coincidem, dizemos que o limite existe:

 
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