Limites e colimites

Na teoria das categorias, limites e colimites generalizam diversas construções, sendo produtos e coprodutos uns de seus mais simples casos particulares.[1][2]

DefiniçãoEditar

Sejam   categorias, a primeira chamada categoria de índices, e functor  . Aqui, para cada  , denota-se por   o functor constante, definido por:   para cada  ;   para cada   morfismo em  .[3]

ConesEditar

Um cone do vértice   ao functor   é uma transformação natural  , e, dualmente, um cone de   ao vértice   é uma transformação natural  .[4] Em símbolos:

 
 

A condição de naturalidade para cones de   a   é   para cada   em  , ou seja,

 
e cones de   a   satisfazem a condição dual.

Adicionalmente, temos functor   (e analogamente  ); para cada  ,   leva uma transformação natural de componentes   a uma de componentes  .[5]

Limites e colimitesEditar

Em cada representação

 
o objeto   é chamado de limite de  ; o correspondente elemento universal   é chamado cone limitante. Noutras palavras,   é cone limitante se e só se, para cada outro cone  , há precisamente uma seta   tal que   para cada  .

Dualmente, numa representação

 
o objeto   é chamado de colimite de  , e o elemento universal   é chamado cone colimitante.

Limites e colimites são únicos a menos de isomorfismo (pelo Lema de Yoneda), e são denotados respectivamente por  ,  .[4][1][2]

ExemplosEditar

Um limite para um functor   é chamado:

  • produto quando   é categoria discreta (isto é, todos os seus morfismos são identidades). No caso de produtos binários, a representação acima se reduz a:
     
    onde   são as imagens de   nos dois objetos de  .
  • objeto terminal quando   é vazia. A representação acima se reduz a:
     
    onde   é conjunto de exatamente um elemento.
  • equalizador quando   (duas identidades, e outros dois morfismos paralelos que não são identidades).
  • produto fibrado (ou pullback) quando  .

Dualmente, um colimite para   é chamado:

  • coproduto quando   é discreta.
  • objeto inicial quando   é vazia.
  • coequalizador quando  .
  • coproduto fibrado (ou pushout) quando  .[6][2][1]

Quando a categoria   é uma pré-ordem,

  • o limite de um functor   é o ínfimo  .
  • o colimite de um functor   é o supremo  .[7]

ExistênciaEditar

Categorias completas e cocompletasEditar

Uma categoria   é dita (pequeno-)completa se e só se, para cada categoria pequena  , todo functor   tem limite. Dualmente,   é (pequeno-)cocompleta se e só se todo functor   tal que   é categoria pequena tem colimite.

Se   tem todos os produtos pequenos e todos os equalizadores (de duplas de morfismos), então   é completa. Com efeito, um limite de   é o domínio   do equalizador:

 
em que as duas setas paralelas são definidas por (abaixo,   denota as projeções dos produtos):
 
e o cone limitante tem componentes   para cada  .[8]

Na categoria dos conjuntosEditar

A categoria   dos conjuntos pequenos é pequeno-completa e pequeno-cocompleta. Há fórmulas explícitas para os limites e os colimites de um functor  :

 
 
onde   é a menor relação de equivalência satisfazendo (abaixo,   denota as inclusões no coproduto):
 
para cada   e  .[9][10]

Adjunção com o functor diagonal ΔEditar

O functor   tem adjunto direito se e só se   admite todos os limites indexados por  , e tem adjunto esquerdo se e só se   admite todos os limites indexados por  :

 ,  .

Neste caso,  , isto é, os operadores limite e colimite podem ser estendidos a functores  .[11]

Functores e limitesEditar

Um functor  :

  • preserva os limites de   se e só se, para cada cone limitante  , também   é cone limitante.
  • reflete os limites de   se e só se, para cada cone   tal que   é cone limitante, também   é cone limitante.
  • cria os limites de um functor   tal que   tem limite se e só se   também tem limite, e   preserva e reflete os limites de  .[12]
  • estritamente cria os limites de   se e só se, para cada cone limitante  , há único   e cone   tal que  , e ainda mais este   é cone limitante.[13]

(Mac Lane usa o termo cria em vez de estritamente cria.[14]) Há definições análogas para a preservação, reflexão e criação de colimites.

Um functor   é dito (pequeno-)contínuo (respectivamente cocontínuo) quando preserva todos os limites pequenos (respectivamente colimites pequenos).

Os functores   são sempre contínuos.[15] Assim, têm-se isomorfismos:[16]

 
 

PropriedadesEditar

Limites pontualmenteEditar

Um limite de um functor F : JCA existe precisamente quando cada functor EaF : JC tem limite (onde Ea : CAC é a aplicação em a), e neste caso o limite é um functor L : AC tal que L(a) é limite de EaF para cada aA.[17]

Limites comutamEditar

Seja functor F : I × JC tal que, para cada iI, F(i, –) : JC tem limite. Então, esses limites formam um functor

limjJ F(–, j) : IC,

que tem limite precisamente quando F : I × JC tem limite.

Em particular, quando os limites abaixo existem, há isomorfismo

limiI limjJ F(i, j) ≅ limjJ limiI F(i, j).[18]

Troca de limite com colimiteEditar

Para cada functor F : I × JC, há uma seta "canônica"

colimiI limjJ F(i, j) → limjJ colimiI F(i, j),

quando existem os limites e colimites adequados. Se C é a categoria dos conjuntos, uma das situações nas quais essa seta é isomorfismo é quando J é categoria finita e I é categoria filtrada (isto é, cada functor KI com K finita tem cone a algum objeto de I); brevemente, limites finitos comutam com colimites filtrados na categoria dos conjuntos.[18]

Referências

  1. a b c (Mac Lane, §III.3)
  2. a b c (Mac Lane, §III.4)
  3. (Mac Lane, §III.3."colimits")
  4. a b (Riehl, §3.1)
  5. (Riehl, exercício 3.1.i)
  6. (Riehl, §3.1, págs. 77–81)
  7. (Riehl, Prefácio."A tour of basic categorical notions", pág. xiv)
  8. (Mac Lane, §V.1, §V.2)
  9. (Riehl, §3.2)
  10. «Limits and colimits by example – nLab». Consultado em 22 de fevereiro de 2020 
  11. (Riehl, §4.5)
  12. «Created limit – nLab». Consultado em 16 de fevereiro de 2020 
  13. (Riehl, §3.3)
  14. (Mac Lane, §V.1, definição)
  15. (Mac Lane, §V.4)
  16. (Riehl, §3.4)
  17. (Riehl, §3.3, proposição 3.3.9)
  18. a b (Riehl, §3.8)

BibliografiaEditar

Ligações externasEditar