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Em matemática e suas aplicações, linearização refere-se a encontrar a aproximação linear de uma função em um dado ponto. No estudo de sistemas dinâmicos, linearização é um método para avaliar-se a estabilidade local de um ponto de equilíbrio de um sistema de equações diferenciais não lineares ou sistemas dinâmicos discretos.[1] Este método é usado em campos tais como engenharia, física, economia e ecologia.

Índice

Linearização de uma funçãoEditar

Linearizações de funções são funções lineares geralmente usadas com propósito de realizar cálculos específicos. Linearizar é um método eficaz de aproximar a imagem de uma função   em qualquer   baseando-se na inclinação da reta tangente da função em  , desde que   seja contínua em   (ou  ) e   esteja suficientemente próximo de  .

Por exemplo: você provavelmente sabe que  . Mas sem uma calculadora, como seria possível calcular  ?

Seja   a função correspondente à linearização de   em  , a propriedade da Localidade Linear nos diz que qualquer função diferenciável num ponto é linear naquele ponto, ou seja, sob um certo nível de zoom, seu gráfico assemelhar-se-á a uma reta. Essa reta é justamente a reta tangente da função naquele ponto específico.

Sendo assim, a linearização (aproximação de Taylor de primeira ordem) da função   no ponto   será:   ou  , em que   é a inclinação da reta, que corresponde à derivada da função   em  . A equação final para a fórmula do calculo da linearização é:

 

ExemploEditar

Para encontrar   nós podemos usar o fato de que  . A linearização de   no ponto   é

 

Substituindo   por 4, temos:

 

Nesse caso,  , então:

 

Perceba que o verdadeiro valor de   é  , portanto esta linearização possui um erro de  .

Ver tambémEditar

Referências