Equação do quarto grau

Em matemática, uma equação do quarto grau ou equação quártica é uma equação polinomial monovariável de grau quatro. A forma geral de uma equação do quarto grau é dada por:

Gráfico de um polinômio do quarto grau, com quatro raízes reais distintas

$$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,$$

em que os coeficientes $a\neq 0$, $b$, $c$, $d$ e $e$ são elementos de um corpo, geralmente o dos números reais ou complexos.

Exemplos

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24=0$$

$$x^{4}-1=0$$

$$x^{4}-5x^{2}+6=0$$

Existência de soluções

O teorema fundamental da álgebra garante que uma equação quártica sempre terá quatro soluções (raízes), simples ou múltiplas, no conjunto dos números complexos.

Formas especiais

Equação biquadrática

Ver artigo principal: Equação biquadrada

Uma equação biquadrática é uma equação do quarto grau que, quando reduzida, é apresentada da seguinte forma:

$$px^{4}+qx^{2}+r=0.$$

Como $p\neq 0$, esta equação pode ser reduzida a uma equação do segundo grau através da mudança de variáveis $y=x^{2}$, de modo que

$$py^{2}+qy+r=0.$$

Os valores de $y$ que satisfazem esta equação são dados pela fórmula: $y={\frac {-q\pm {\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}.$ Logo, $x=\pm {\sqrt {\frac {-q+{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}}$ e $x=\pm {\sqrt {\frac {-q-{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2p}}}$.

Produtos Notáveis

Toda equação do 4° grau que, na forma reduzida $\left(x^{4}+ax^{2}+bx+c=0\right),$ apresente coeficientes nulos, será um produto notável com as raízes em $x=-{\dfrac {b}{4a}}.$

• Exemplo: $x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1=0$ quando reduzido fica na forma $z^{4}=0,$ logo $x=-{\dfrac {b}{4a}}$ ou $x=1.$

Formula de Wilson x⁴=y²

O método de Ferrari

As soluções podem ser encontradas usando o método de Ferrari desenvolvido pelo matemático italiano Lodovico Ferrari. Ferrari resolveu uma equação que, em linguagem moderna, pode ser escrita como:

$$x^{4}+px^{2}+q=rx$$

Nota-se que a equação geral $az^{4}+bz^{3}+cz^{2}+dz+e=0$ pode ser reduzida a este caso através da transformação $z=x-{\frac {b}{4a}},$ e dividindo a equação resultante por $a$.

Ao dividirmos a equação por $a$, a equação terá a forma $z^{4}+Az^{3}+Bz^{2}+Cz+D=0$, onde $A={\frac {b}{a}}$, $B={\frac {c}{a}}$, $C={\frac {d}{a}}$ e $D={\frac {e}{a}}$. Ao realizar a substituição $z=x-{\frac {B}{4}}$ a equação assumirá a forma reduzida $x^{4}+px^{2}+q=rx$, onde

$p=B-{\frac {3}{8}}A^{2}$

$r=-{\frac {1}{8}}A^{3}+{\frac {1}{2}}AB-C$

$q=-{\frac {3}{256}}A^{4}+{\frac {1}{16}}A^{2}B-{\frac {1}{4}}AC+D$

A partir daqui, o método consiste em transformar a equação em uma diferença de quadrados tal qual $(x^{2}+A)^{2}-(Bx+C)^{2}=0,$ cuja solução pode ser obtida através dos métodos de resolução de equações do segundo grau.

No primeiro passo, o primeiro membro da equação, $x^{4}+px^{2}+q,$ é transformado no quadrado baseado em $x^{4}+q,$ ou seja, $x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q:$

$$x^{4}+q=rx-px^{2}$$

$$x^{4}+2{\sqrt {q}}x^{2}+q=(2{\sqrt {q}}-p)x^{2}+rx$$

$$(x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}$$

Em seguida, somam-se termos em uma nova variável $y,$ porém de forma a que o primeiro membro não deixe de ser um quadrado. Para isto, além de somar $y^{2},$ devemos somar também $2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}}),$ ou seja:

$$(x^{2}+{\sqrt {q}})^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}=rx+\left(2{\sqrt {q}}-p\right)x^{2}+2y\cdot (x^{2}+{\sqrt {q}})+y^{2}$$

Reescrevendo:

$$(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}$$

O segundo membro da equação pode ser reescrito como $(2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-}),$ onde $x_{+}$ e $x_{-}$ são soluções da equação quadrática

$(2{\sqrt {q}}-p+2y)x^{2}+rx+2y{\sqrt {q}}+y^{2}=0,$ ou seja, $x={\dfrac {-r\pm {\sqrt {r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})}}}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}$

Para que a equação se torne uma diferença de quadrados, é necessário que $(2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (x-x_{+})\cdot (x-x_{-})$ seja um quadrado, então escreveremos que $x_{+}=x_{-},$ que necessita que a raiz quadrada na fórmula seja nula.

Em outras palavras, isto requer:

$$r^{2}-4\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)\cdot (2y{\sqrt {q}}+y^{2})=0$$

que, expandido, gera a equação do terceiro grau auxiliar:

$$8y^{3}+(24{\sqrt {q}}-4p)y^{2}+(16q-8p{\sqrt {q}})y-r^{2}=0,$$

onde apenas uma raiz $y_{1}$ é necessária (recomenda-se utilizar uma raiz real). Quando $r\neq 0$, a equação sempre irá possuir uma raiz real positiva.

Retomando o cálculo da incógnita $x,$ temos que $x_{+}=x_{-}=-{\dfrac {r}{2\cdot (2{\sqrt {q}}-p+2y)}}$

Com isso a equação $(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}=\left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2},$ pode ser reescrita como $(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left({\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}\right)^{2}\cdot \left(x+{\dfrac {r}{2\cdot \left(2{\sqrt {q}}-p+2y\right)}}\right)^{2}=0,$ ou $(x^{2}+{\sqrt {q}}+y)^{2}-\left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)^{2}=0$

que resulta em uma diferença de dois quadrados:

$x^{2}+{\sqrt {q}}+y\pm \left(x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}\right)=0$

Que gera duas equações quadráticas que podem ser resolvidas pelos métodos de resolução de equações de segundo grau nas equações seguintes:

$x^{2}+x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y+{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0$

$x^{2}-x{\sqrt {2{\sqrt {q}}-p+2y}}+{\sqrt {q}}+y-{\dfrac {r}{\sqrt {8{\sqrt {q}}-4p+8y}}}=0$

Ver também

• Equação polinomial

Ligações externas

• Calculadora de equações do quarto grau