Formulação Geral
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Considere uma área
D
⊂
R
n
{\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}
na qual queiramos encontrar a solução
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
da equação :
L
u
=
−
ϕ
(
x
)
,
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
D
{\displaystyle Lu=-\phi (x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in D}
com Condições de fronteira :
l
u
=
g
(
x
)
,
x
∈
∂
D
{\displaystyle lu=g(x),x\in \partial D\,}
A ideia do método do domínio fictício é basicamente substituir um problema dado em um domínio
D
{\displaystyle D}
, por um novo problema em um simples domínio
Ω
{\displaystyle \Omega }
contendo
D
{\displaystyle D}
(
D
⊂
Ω
{\displaystyle D\subset \Omega }
). Por exemplo, podemos escolher um paralelepípedo n-dimensional como
Ω
{\displaystyle \Omega }
.
Problema no domínio
Ω
{\displaystyle \Omega }
para a nova solução
u
ϵ
(
x
)
{\displaystyle u_{\epsilon }(x)}
:
L
ϵ
u
ϵ
=
−
ϕ
ϵ
(
x
)
,
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
Ω
{\displaystyle L_{\epsilon }u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \Omega }
l
ϵ
u
ϵ
=
g
ϵ
(
x
)
,
x
∈
∂
Ω
{\displaystyle l_{\epsilon }u_{\epsilon }=g^{\epsilon }(x),x\in \partial \Omega }
É necessário levar o problema a uma área estendida para que as seguintes condições sejam satisfeitas:
u
ϵ
(
x
)
→
ϵ
→
0
u
(
x
)
,
x
∈
D
{\displaystyle u_{\epsilon }(x){\xrightarrow[{\epsilon \rightarrow 0}]{}}u(x),x\in D\,}
Exemplo simples, problema unidimensional
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d
2
u
d
x
2
=
−
2
,
0
<
x
<
1
(
1
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)}
u
(
0
)
=
0
,
u
(
1
)
=
0
{\displaystyle u(0)=0,u(1)=0\,}
Prolongamento pelos coeficientes principais
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u
ϵ
(
x
)
{\displaystyle u_{\epsilon }(x)}
solução do problema:
d
d
x
k
ϵ
(
x
)
d
u
ϵ
d
x
=
−
ϕ
ϵ
(
x
)
,
0
<
x
<
2
(
2
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)}
O coeficiente descontínuo
k
ϵ
(
x
)
{\displaystyle k^{\epsilon }(x)}
e o lado direito da equação anterior obtemos das expressões:
k
ϵ
(
x
)
=
{
1
,
0
<
x
<
1
1
ϵ
2
,
1
<
x
<
2
{\displaystyle k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}}
(
3
)
{\displaystyle (3)}
ϕ
ϵ
(
x
)
=
{
2
,
0
<
x
<
1
2
c
0
,
1
<
x
<
2
{\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}}
Condições de fronteira:
u
ϵ
(
0
)
=
0
,
u
ϵ
(
1
)
=
0
{\displaystyle u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(1)=0}
Condições de conexão no ponto
x
=
1
{\displaystyle x=1}
:
[
u
ϵ
(
0
)
]
=
0
,
[
k
ϵ
(
x
)
d
u
ϵ
d
x
]
=
0
{\displaystyle [u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}
onde
[
⋅
]
{\displaystyle [\cdot ]}
significa:
[
p
(
x
)
]
=
p
(
x
+
0
)
−
p
(
x
−
0
)
{\displaystyle [p(x)]=p(x+0)-p(x-0)\,}
A equação (1) tem solução analítica portanto podemos facilmente obter o erro:
u
(
x
)
−
u
ϵ
(
x
)
=
O
(
ϵ
2
)
,
0
<
x
<
1
{\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1}
Prolongamento por coeficientes de ordem mais baixa
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u
ϵ
(
x
)
{\displaystyle u_{\epsilon }(x)}
solução do problema:
d
2
u
ϵ
d
x
2
−
c
ϵ
(
x
)
u
ϵ
=
−
ϕ
ϵ
(
x
)
,
0
<
x
<
2
(
4
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)}
Onde
ϕ
ϵ
(
x
)
{\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)}
pegamos como em (3), e a expressão para
c
ϵ
(
x
)
{\displaystyle c^{\epsilon }(x)}
c
ϵ
(
x
)
=
{
1
,
0
<
x
<
1
1
ϵ
2
,
1
<
x
<
2
{\displaystyle c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}}
como condições de fronteira para a equação (4) assim como para (2).
Condições de conexão do ponto
x
=
1
{\displaystyle x=1}
:
[
u
ϵ
(
0
)
]
=
0
,
[
d
u
ϵ
d
x
]
=
0
{\displaystyle [u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}
Erro:
u
(
x
)
−
u
ϵ
(
x
)
=
O
(
ϵ
)
,
0
<
x
<
1
{\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1}
P.N. Vabishchevich, The Method of Fictitious Domains in Problems of Mathematical Physics, Izdatelstvo Moskovskogo Universiteta, Moskva, 1991.
Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Preprint CC SA USSR, 68, 1979.
Bugrov A.N., Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Mathematical model of fluid flow, Novosibirsk, 1978, p. 79–90