Métodos de integração

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No cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos utilizados para encontrar antiderivadas de funções.[1][2] Algumas das técnicas mais conhecidas são as de integração por substituição, partes, e frações parciais.

Integração por substituiçãoEditar

Considere a seguinte integral:

 

A técnica de integração por substituição consiste em aplicar a mudança de variáveis  . Desta forma,   o que, substituindo na integral acima, fornece:

 

Esta técnica é consequência da regra da cadeia para derivadas.[1]

ExemploEditar

Considere-os:

 

Tomando  , temos  . Segue que:

 .

Integração por partesEditar

 Ver artigo principal: Integração por partes

A técnica de integração por partes é uma consequência da regra do produto para derivadas. Ela estabelece que:[1][2]

 .

Para integrais definidas, a fórmula análoga é:

 

ExemploEditar

Considere a integral definida:

 .

Tomando:

 

Seque, da integração por partes que:

 .

Substituições trigonométricasEditar

As substituições trigonométricas são muitas vezes úteis para calcular integrais contendo expressões da forma  ,  , ou  . Nestes casos, as substituições sugeridas são:[1][2]

Expressão Substituição Elemento infenitesimal Expressão resultante
       
       
       

ExemploEditar

Considere a integral  . Usando a substituição  , obtem-se  . Segue que:

 .

A integral de cosseno ao quadrado pode ser calculada utilizando integração por partes, tomando:

 ,  ,

temos:

 
 

Daí, segue que:

 

Da substituição feita   concluímos que:

 

onde,   é uma constante indeterminada.

Integração por frações parciaisEditar

A técnica de frações parciais é utilizada para o cálculo de integrais de funções racionais.[1][2][3] Considere:

 

onde,   e   são polinômios. Notamos que, por divisão de polinômios, encontrar polinômios   e   tais que:

 

sendo   um polinômio de grau menor que  . O método segue da fatoração de   em polinômios irredutíveis, i.e. escrevemos:

 .

Com isso, podemos encontrar constantes  ,   e   tais que:

 .

Em resumo, temos:

 

que consiste na integração do polinômio   e de uma série de funções racionais das formas   ou  . As integrais destas, por sua vez, podem ser calculadas pelos métodos de integração discutidos acima.

ExemploEditar

Considere:

 

Temos  , logo:

 

donde encontramos que  , i.e.   e  . Daí:

 

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b c d e Anton, Howard (2014). Cálculo - Volume 1 10 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788582602256 
  2. a b c d Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 1 7 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522112586 
  3. Leithold, Louis (1994). O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 1 3 ed. [S.l.]: HARBRA. ISBN 8529400941