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DefiniçãoEditar

Dado um conjunto  , uma métrica em   é uma função

 

que possui as seguintes propriedades:

  • É positivamente definida, ou seja, é tal que
 

para todos os  .

  • É simétrica, ou seja, é tal que
 

para todos os elementos   de  .

  • Obedece a desigualdade triangular; para todos os   elementos de  ,   satisfaz
 
  • É nula apenas para pontos coincidentes. Ou seja,
 

No âmbito da relatividade, ao espaço-tempo está associada uma pseudométrica, já que para dois pontos diferentes o quadrado da "distância" (aqui entendida como o comprimento da geodésica entre dois pontos distintos) pode ser zero para pontos distintos e mesmo negativa.

ExemplosEditar

No conjunto dos números reais, a métrica usual é dada por:

  •  
 
Uma forma de medir distâncias

No conjunto   várias métricas podem ser definidas, por exemplo:

  •  
  •  

No conjunto das funções contínuas no intervalo  ,  :

  •  
  •  

Em um conjunto   qualquer, a métrica discreta:

  •  

BolasEditar

 Ver artigo principal: Bola (matemática)

As bolas abertas de raio   e centro   em um espaço métrico   são denotadas por:

 

Analogamente, as bolas fechadas de raio   e centro   em um espaço métrico   são denotadas por:

 

Métrica induzida por uma normaEditar

 Ver artigo principal: Espaço normado

Seja   uma norma em um espaço  , então pode-se definir uma métrica neste espaço por:

 

Os axiomas da métrica serão automaticamente satisfeitos.

Topologia induzida por uma métricaEditar

A todo espaço métrico está associado, de forma canônica, um espaço topológico. Este espaço pode ser definido de várias maneiras equivalentes.

Seja   o conjunto

 

Em outras palavras, todo elemento A de taud é um subconjunto de S em que cada elemento   é também elemento de uma bola aberta B que é subconjunto de A:  .

Verifica-se facilmente que   é uma topologia sobre  . Essa é a topologia induzida por   sobre  .

Note que o conjunto de todas as bolas abertas de   forma uma base para a topologia  .

Por exemplo, a métrica discreta induz a topologia discreta.

LimitaçãoEditar

 Ver artigo principal: Conjunto limitado

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em uma bola de raio finito.

ConvergênciaEditar

 Ver artigo principal: Sequência convergente

Uma seqüência   é dita convergente para uma ponto   se:

 

Uma seqüência é dita de Cauchy se:

 

CompletezaEditar

 Ver artigo principal: Espaço completo

Um espaço métrico é dito completo se toda seqüência de Cauchy é convergente.

Todo espaço métrico admite um completamento, veja espaço completo.

Métricas equivalentesEditar

Dadas as métricas  e  no mesmo conjunto  , escreveremos, por simplicidade,  ,  ,  igual a bola de centro a e raio r segundo a métrica  . Usaremos os índices 1 e 2 para distinguir objetos definidos com auxílio das métricas  ou  respectivamente.

Consideremos que  é mais fina que  , e escreveremos  , quando a aplicação identidade   for contínua. Como  para todo  , a definição de continuidade apresenta a seguinte condição necessária e suficiente para que  seja mais fina que  : para todo  e todo  , existe  tal que  . Ou seja,  

Exemplos:

  • Seja  uma métrica discreta. Se o espaço métrico  é discreto, então  é mais fina do que qualquer outra métrica discreta  em  . Por outro lado, se  for mais fina do que a métrica discreta  então, para todo  , existe uma bola  contida na bola  . Logo  e portanto  também é discreta.
  • Se existir uma constante  tal que  para quaisquer  , então  mais fina do que  .

---Proposição: Sejam   e   espaços métricos sobre o mesmo conjunto  . As seguintes afirmações são equivalentes:

  1.  , quando a aplicação identidade   for contínua;
  2. Para todo espaço métrico  ,  contínua  contínua, ou seja, toda aplicação contínua segundo  é contínua segundo  ;
  3. Se  é contínua então  é contínua;
  4. Para todo  , a função  , definida por  é contínua no ponto  ;
  5. Toda bola aberta segundo  contém uma bola aberta de mesmo centro segundo  ;
  6. A função  x   é contínua.

---Proposição: A aplicação injetiva  é contínua se, e somente se, a métrica  é mais fina do que a métrica  , induzida em   por  .

Exemplos:

  • Como  , dada por  , é uma bijeção contínua, segue- se que a métrica  em  é mais fina do que a métrica  , induzida por  .

---Definição: Duas métricas  e  num espaço  chamam- se  quando cada uma delas é mais fina do que a outra, isto é, quando a aplicação identidade  é homeomorfismo. Denotamos por  . A relação  é reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo: Duas métricas discretas no mesmo espaço são sempre equivalentes. Se  e  é discreta, então  é discreta.

---Definição: A fim de que se tenha   em  , é necessário e suficiente que qualquer bola aberta em relação a uma dessas métricas contenha uma bola aberta de mesmo centro em relação à outra.

Exemplos:

  • As métricas  no plano  são equivalentes, pois todo disco contém um quadrado com diagonais paralelas aos eixos, o qual contém um quadrado de lados paralelos aos eixos e este, por sua vez, contém um disco, todas essas figuras com o mesmo centro.
  • Se existirem constantes  tais que  para quaisquer  , então as métricas  e  são equivalentes pois a aplicação identidade  e sua inversa  são, neste caso, ambas lipschitzianas. Assim, por exemplo, no produto cartesiano  x ... x  , as métricas  são equivalentes, pois cumprem  . Em particular, no espaço  , as métricas  ,  e  são equivalentes.
  • Seja  uma métrica em  . Pondo  e  obtêm- se métricas em  . Afirmamos que  e  são ambas equivalentes a  Em particular, vemos que toda métrica é equivalente a alguma métrica limitada, pois  e  .

---Proposição: A bijeção  é um homeomorfismo se, e somente se, a métrica  é equivalente à métrica  , induzida em  por  .

---Corolário: A aplicação  é contínua se, e somente se , a métrica   x  , definida por  é equivalente a  . Em particular, se  é contínua, então a métrica  é equivalente a  

---Proposição: Sejam   e  . As seguintes afirmações são equivalentes:

  1.  .
  2. Uma aplicação  é contínua segundo  se, e somente se , é contínua segundo  .
  3. Uma função real  é contínua segundo  se, e somente se , é contínua segundo  .
  4. Para todo  , as funções  , dadas por  , são contínuas no ponto  
  5. Toda bola aberta segundo uma dessas métricas contém uma bola aberta de mesmo centro segundo a outra.
  6. As funções  x  e  x  são contínuas.

Em tese:

  • Duas métricas,   e  , sobre o mesmo espaço métrico são ditas equivalentes se induzirem a mesma topologia.
  • Duas métricas,   e  , sobre o mesmo espaço métrico são ditas uniformemente equivalentes se existirem duas constantes positivas,   e   tais que:
 

Obs.: Métricas uniformemente equivalentes são equivalentes.



ReferênciaEditar

  • Lima, Elon Lages (2017). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed., 3ª impressão. [S.l.]: IMPA. 336 páginas
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