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Em Matemática, métrica é um conceito que generaliza a ideia geométrica de distância. Um conjunto em que há uma métrica definida recebe o nome de espaço métrico.

Índice

DefiniçãoEditar

Dado um conjunto  , uma métrica em   é uma função

 

que possui as seguintes propriedades:

  • É positivamente definida, ou seja, é tal que
 

para todos os  .

  • É simétrica, ou seja, é tal que
 

para todos os elementos   de  .

  • Obedece a desigualdade triangular; para todos os   elementos de  ,   satisfaz
 
  • É nula apenas para pontos coincidentes. Ou seja,
 

No âmbito da relatividade, ao espaço-tempo está associada uma pseudométrica, já que para dois pontos diferentes o quadrado da "distância" (aqui entendida como o comprimento da geodésica entre dois pontos distintos) pode ser zero para pontos distintos e mesmo negativa.

ExemplosEditar

No conjunto dos números reais, a métrica usual é dada por:

  •  
 
Uma forma de medir distâncias

No conjunto   várias métricas podem ser definidas, por exemplo:

  •  
  •  

No conjunto das funções contínuas no intervalo  ,  :

  •  
  •  

Em um conjunto   qualquer, a métrica discreta:

  •  

BolasEditar

 Ver artigo principal: Bola (matemática)

As bolas abertas de raio   e centro   em um espaço métrico   são denotadas por:

 

Analogamente, as bolas fechadas de raio   e centro   em um espaço métrico   são denotadas por:

 

Métrica induzida por uma normaEditar

 Ver artigo principal: Espaço normado

Seja   uma norma em um espaço  , então pode-se definir uma métrica neste espaço por:

 

Os axiomas da métrica serão automaticamente satisfeitos.

Topologia induzida por uma métricaEditar

A todo espaço métrico está associado, de forma canônica, um espaço topológico. Este espaço pode ser definido de várias maneiras equivalentes.

Seja   o conjunto

 

Em outras palavras, todo elemento A de taud é um subconjunto de S em que cada elemento   é também elemento de uma bola aberta B que é subconjunto de A:  .

Verifica-se facilmente que   é uma topologia sobre  . Essa é a topologia induzida por   sobre  .

Note que o conjunto de todas as bolas abertas de   forma uma base para a topologia  .

Por exemplo, a métrica discreta induz a topologia discreta.

LimitaçãoEditar

 Ver artigo principal: Conjunto limitado

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em uma bola de raio finito.

ConvergênciaEditar

 Ver artigo principal: Sequência convergente

Uma seqüência   é dita convergente para uma ponto   se:

 

Uma seqüência é dita de Cauchy se:

 

CompletezaEditar

 Ver artigo principal: Espaço completo

Um espaço métrico é dito completo se toda seqüência de Cauchy é convergente.

Todo espaço métrico admite um completamento, veja espaço completo.

Métricas equivalentesEditar

  • Duas métricas,   e  , sobre o mesmo espaço métrico são ditas equivalentes se induzirem a mesma topologia.
  • Duas métricas,   e  , sobre o mesmo espaço métrico são ditas uniformemente equivalentes se existirem duas constantes positivas,   e   tais que:
 

Obs.: Métricas uniformemente equivalentes são equivalentes.

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