Música e matemática
Os teóricos da música usam com frequência a matemática para entender a estrutura musical e comunicar novas maneiras de ouvir música. Isto levou a aplicações musicais da teoria dos conjuntos, álgebra abstrata e teoria dos números. Os estudiosos da música também usaram a matemática para entender as escalas musicais, e alguns compositores incorporaram a proporção áurea e o número de Fibonacci em seu trabalho.[1]
Conexões com a teoria dos conjuntos editar
A teoria musical dos conjuntos usa alguns dos conceitos da teoria matemática dos conjuntos para organizar os objetos musicais e descrever suas relações.
Para analisar a estrutura de uma peça musical (tipicamente de atonal) usando a teoria musical dos conjuntos, começa-se geralmente com um conjunto de sons, que podem formar motivos ou acordes. Aplicando operações simples como transposição e inversão descobre-se estruturas profundas na música. Esse tipo de operação é chamado de isometria, porque preserva os intervalos entre sons num conjunto.
Conexões com a álgebra abstrata editar
Partindo dos métodos da teoria musical dos conjuntos, muitos teóricos expandiram para o uso da álgebra abstrata na análise musical. Por exemplo, as notas em uma oitava de temperamento igual formam um grupo abeliano com 12 elementos. É possível descrever o temperamento justo em termos de um grupo abeliano livre.[2]
Alguns teóricos propuseram aplicações musicais de conceitos algébricos mais sofisticados. O matemático Guerino Mazzola aplicou a teoria topos à música, mas o resultado é controvertido.
A escala cromática tem uma ação livre e transitiva de , com a ação sendo definida via transposição de notas. Logo, a escala cromática pode ser vista como um torsor para o grupo . Também há uma associação com teoria dos corpos.
Conexões com a teoria dos números editar
A interpretação moderna do temperamento justo é inteiramente baseada no teorema fundamental da aritmética.
Acredita-se que alguns compositores escreveram sua música usando a proporção áurea e os números de Fibonacci para auxiliá-los.[3] Para o ouvinte, no entanto, não é possível determinar o quanto esse uso é intencional ou inconsciente.
Ernő Lendvai analisa os trabalhos de Béla Bartók como baseados em dois sistemas opostos: a proporção áurea e a escala acústica. Em Música para cordas, percussão e celesta, a progressão do xilofone no começo do terceiro movimento ocorre nos intervalos 1:2:3:5:8:5:3:2:1. O compositor francês Eric Satie usou a proporção áurea em Sonneries de la Rose Croix e outra peças, o que deu a sua música um senso de simetria.
A proporção áurea é notada também na organização das seções da música Reflets dans l'eau de Images pour piano, de Claude Debussy, organizada segundo intervalos de 34, 21, 13 e 8 (uma sequência de Fibonacci descendente), e o clímax se situa na posição φ.
A proporção áurea e o número de Fibonacci editar
Acredita-se que alguns compositores escreveram sua música usando a proporção áurea e os números de Fibonacci para auxiliá-los.[3] Para o ouvinte, no entanto, não é possível determinar o quanto esse uso é intencional ou inconsciente.
Ernő Lendvai analisa os trabalhos de Béla Bartók como baseados em dois sistemas opostos: a proporção áurea e a escala acústica. Em Música para cordas, percussão e celesta, a progressão do xilofone no começo do terceiro movimento ocorre nos intervalos 1:2:3:5:8:5:3:2:1. O compositor francês Eric Satie usou a proporção áurea em Sonneries de la Rose Croix e outra peças, o que deu a sua música um senso de simetria.
A proporção áurea é notada também na organização das seções da música Reflets dans l'eau de Images pour piano, de Claude Debussy, organizada segundo intervalos de 34, 21, 13 e 8 (uma sequência de Fibonacci descendente), e o clímax se situa na posição φ.
Sistemas de afinação editar
Uma escala musical é uma sequência discreta de sons usados para fazer ou descrever música. A escala tem um intervalo de repetição, normalmente a oitava. Isto significa que para cada nota na escala temos um som correspondente uma oitava acima e uma oitava abaixo, apesar dos limites do ouvido humano para eles. Como estamos geralmente interessados nas relações ou razões entre as alturas conhecidas como intervalos e não nas alturas precisas em si mesmas para descrever a escala, é comum nos referirmos a todas as alturas da escala em termos de sua razão a partir de uma altura particular, à qual é dada o valor um (escrita geralmente 1/1 quando se discute a entonação justa). Esta nota pode, mas não necessariamente, ser uma que funcione como tônica da escala. Para afinações que usam números irracionais (i.e., temperamentos), ou para comparação do tamanho de intervalos, usa-se geralmente os cents.
Afinação pitagórica editar
Entonação justa editar
| Nota | Razão | Intervalo |
|---|---|---|
| 0 | 1:1 | uníssono |
| 1 | 135:128 | segunda menor |
| 2 | 9:8 | segunda maior |
| 3 | 6:5 | terça menor |
| 4 | 5:4 | terça maior |
| 5 | 4:3 | quarta perfeita |
| 6 | 45:32 | trítono diatônico |
| 7 | 3:2 | quinta justa |
| 8 | 8:5 | sexta menor |
| 9 | 27:16 | sexta maior |
| 10 | 9:5 | sétima menor |
| 11 | 15:8 | sétima maior |
| 12 | 2:1 | oitava |
Matemática das escalas musicais editar
Muitos povos e culturas criaram suas próprias escalas musicais. Um exemplo foi o povo chinês, que partiu da experiência de Pitágoras (utilizando cordas).
Eles tocaram a nota Dó em uma corda esticada e depois dividiram essa corda em 3 partes. O resultado dessa divisão foi a nota Sol. Ao observar que essas notas possuíam uma harmonia entre si, eles repetiram o procedimento a partir dessa nota Sol, dividindo novamente esse pedaço de corda em 3 partes, resultando na nota Ré. Essa nota matinha uma harmonia agradável com a nota Sol e também com a nota Dó. Esse procedimento foi então repetido a partir da nota Ré, dando origem à nota Lá. Depois, partindo de Lá, chegou-se à nota Mi.
Quando eles repetiram esse procedimento de dividir em 3 partes a corda mais uma vez, dando origem à nota Si, houve um problema, pois a nota Si não soava muito bem quando tocada junto com a nota Dó (a primeira nota do experimento). De fato, essas notas eram muito próximas uma da outra, o que causava um certo desconforto sonoro. Por isso, os chineses terminaram suas divisões obtendo as notas Dó, Sol, Ré, Lá e Mi, deixando a nota Si de lado. Essas notas serviram de base para a música chinesa, formando uma escala de 5 notas (Pentatônica). Essa escala pentatônica, por ser agradável e consonante, representou muito bem a cultura oriental, que sempre foi pautada na harmonia e estabilidade.
Temperamento igual editar
Amostras de sons editar
Frequência e altura editar
Percepção editar
Nota Frequência (Hz) Frequência
Distância da
nota anteriorLog frequência
log2 fLog frequência
Distância da
nota anteriorlá2 110.00 N/A 6.781 N/A lá2# 116.54 6.54 6.864 0.0833 (or 1/12) si2 123.47 6.93 6.948 0.0833 dó2 130.81 7.34 7.031 0.0833 dó2# 138.59 7.78 7.115 0.0833 ré2 146.83 8.24 7.198 0.0833 ré2# 155.56 8.73 7.281 0.0833 mi2 164.81 9.25 7.365 0.0833 fá2 174.61 9.80 7.448 0.0833 fá2# 185.00 10.39 7.531 0.0833 sol2 196.00 11.00 7.615 0.0833 sol2# 207.65 11.65 7.698 0.0833 lá3 220.00 12.35 7.781 0.0833
Identidade harmônica
Nome comum Exemplo Múltiplo de Freq. Fundamental
Razão (esta identidade/última oitava)
1 Fundamental lá2 - 110 Hz 1x 1/1 = 1x 2 Oitava lá3 - 220 Hz 2x 2/1 = 2x (also 2/2 = 1x) 3 Quinta Perfeita mi3 - 330 Hz 3x 3/2 = 1.5x 4 Oitava lá4 - 440 Hz 4x 4/2 = 2x (also 1x) 5 Terça Maior dó#4 - 550 Hz 5x 5/4 = 1.25x 6 Quinta Perfeita mi4 - 660 Hz 6x 6/4 = 1.5x 7 "Sétima Perfeita" sol#4 - 770 Hz 7x 7/4 = 1.75x 8 Oitava lá5 - 880 Hz 8x 8/4 = 2x (also 1x)
Identidade Harmônica Nome comum Ponto Linear
Escala ExponentialPonto Linear
Escala Normalizada (linear)1 fundamental 1/1 = 1x log2(1.0) = 0.00 2 oitava 2/1 = 2x log2(2.0) = 1.00 3 quinta perfeita 3/2 = 1.5x log2(1.5) = 0.585 4 oitava 4/2 = 2x log2(2.0) = 1.00 5 terça maior 5/4 = 1.25x log2(1.25) = 0.322 6 quinta perfeita 6/4 = 1.5x log2(1.5) = 0.585 7 "sétima perfeita" 7/4 = 1.75x log2(1.75) = 0.807 8 oitava 8/4 = 2x log2(2.0) = 1.00
Ver também editar
Referências
- ↑ Eric - Math and Music: Harmonious Connections
- ↑ Algebra of Tonal Functions
- ↑ a b «Fibonacci Numbers and The Golden Section in Art, Architecture and Music». Consultado em 6 de agosto de 2009. Arquivado do original em 28 de fevereiro de 2009
Ligações externas editar
- Journal of Mathematics & Music, ed. Thomas Noll and Robert Peck
- Database of all the possible 2048 musical scales in 12 note equal temperament and other alternatives in meantone tunings
- Article by Adriaan Daniël Fokker analysing 31-tet and the harmonic identities
- Website for Musimathics book. Contains a table of content
- Music, Mathematics, Philosophy and tuning
- Google Scholar Search for 'music and mathematics'
- The method for transformation of music into an image through numbers and geometrical proportions
- Twelve-Tone Musical Scale.
- Sonantometry or music as math discipline.
- Music: A Mathematical Offering by Dave Benson.
- Nicolaus Mercator use of Ratio Theory in Music at Convergence
- LucyTuning, a musical tuning, harmonic, and scalecoding system derived from pi, and the writings of John Harrison
- Descomplicando a Música