Matriz aleatória
Na teoria da probabilidade e na física matemática, uma matriz aleatória é uma variável aleatória com valor de matriz[1] - isto é, uma matriz na qual alguns ou todos os elementos são variáveis aleatórias. Muitas propriedades importantes de sistemas físicos podem ser representadas matematicamente como problemas de matriz.[2] Por exemplo, a condutividade térmica de uma rede pode ser calculada a partir da matriz dinâmica das interações partícula-partícula dentro da rede.[3] A teoria da matriz aleatória foi iniciada por volta dos anos 1950.[4]
Aplicações
editarFísica
editarNa física nuclear, matrizes aleatórias foram introduzidas por Eugene Wigner para modelar os núcleos de átomos pesados.[5]
Estatística matemática e análise numérica
editarEm estatísticas multivariadas, matrizes aleatórias foram introduzidas por John Wishart[6] para análise estatística de grandes amostras.[7]
Teoria dos Números
editarNa teoria dos números, a distribuição de zeros da função zeta de Riemann (e outras funções L) é modelada pela distribuição de autovalores de certas matrizes aleatórias.[8]
Neurociência teórica
editarNo campo da neurociência teórica, matrizes aleatórias são cada vez mais usadas para modelar a rede de conexões sinápticas entre neurônios no cérebro.
Controle ótimo
editarNa teoria de controle ótimo, a evolução de n variáveis de estado ao longo do tempo depende, a qualquer momento, de seus próprios valores e dos valores de k variáveis de controle. Com a evolução linear, matrizes de coeficientes aparecem na equação de estado (equação de evolução).[9]
Generalizações
editarAs matrizes Wigner são matrizes Hermitianas aleatórias de modo que as inscrições
acima da diagonal principal estão variáveis aleatórias independentes com média zero e segundos momentos idênticos.
Conjuntos de matrizes invariantes são matrizes Hermitianas aleatórias com densidade no espaço de matrizes Hermitianas simétricas/Hermitianas/quaterniônicas reais, que tem a forma onde a função V é chamada de potencial.
Os ensembles gaussianos são os únicos casos especiais comuns dessas duas classes de matrizes aleatórias.[10][11]
Referências
- ↑ Huang, Jiaoyang (20 de março de 2018). «Mesoscopic perturbations of large random matrices». Random Matrices: Theory and Applications (02). 1850004 páginas. ISSN 2010-3263. doi:10.1142/s2010326318500041. Consultado em 28 de maio de 2021
- ↑ Tao, Terence (21 de março de 2012). Topics in Random Matrix Theory. Col: Graduate Studies in Mathematics. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society
- ↑ Ferrari, Patrik L. (13 de outubro de 2010). «From interacting particle systems to random matrices». Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment (10): P10016. ISSN 1742-5468. doi:10.1088/1742-5468/2010/10/P10016. Consultado em 28 de maio de 2021
- ↑ «Random Matrix Theory and Networks». Physics World (em inglês). Consultado em 31 de maio de 2021
- ↑ Hall, Brian C. (1 de abril de 2019). «Eigenvalues of Random Matrices in the General Linear Group in the Large-$N$ Limit». Notices of the American Mathematical Society (04). 1 páginas. ISSN 0002-9920. doi:10.1090/noti1847. Consultado em 28 de maio de 2021
- ↑ Bishop, Adrian N.; Del Moral, Pierre; Niclas, Angèle (2018). An Introduction to Wishart Matrix Moments. [S.l.]: now Publishers Inc
- ↑ Wishart, John (julho de 1928). «The Generalised Product Moment Distribution in Samples from a Normal Multivariate Population». Biometrika (1/2): consulte a estimativa de matrizes de covariância. 32 páginas. ISSN 0006-3444. doi:10.2307/2331939. Consultado em 28 de maio de 2021
- ↑ KEATING, J. (1993). «The Riemann Zeta-Function and Quantum Chaology». Elsevier: 145–185. ISBN 978-0-444-81588-0. Consultado em 28 de maio de 2021
- ↑ Walker, J. (1 de agosto de 1976). «Book Reviews : THEORY OF BIFURCATIONS OF DYNAMIC SYSTEMS ON A PLANE A. A. Andronov, E. A. Leontovich, I. I. Gordon, and A. G. Maier J. Wiley & Sons, New York , New York (1973)». The Shock and Vibration Digest (8): 48–48. ISSN 0583-1024. doi:10.1177/058310247600800807. Consultado em 28 de maio de 2021
- ↑ Kanzieper, Eugene (17 de setembro de 2015). «Replica approach in random matrix theory». Oxford University Press. The Oxford Handbook of Random Matrix Theory: 154–175. ISBN 978-0-19-874419-1. Consultado em 29 de maio de 2021
- ↑ Zinn-Justin, Jean (19 de junho de 2019). «Renormalization group approach to matrix models». Oxford University Press: 493–500. ISBN 978-0-19-878775-4. Consultado em 29 de maio de 2021