Em matemática , uma matriz circulante é uma matriz quadrada em que cada linha i é formada por um deslocamento cíclico de i posições de uma mesma lista de elementos {a0 ,a1 ,a2 ... an-1 }, ou seja
A
=
[
a
0
a
1
a
2
…
…
a
n
−
1
a
n
−
1
a
0
a
1
⋱
⋮
a
n
−
2
a
n
−
1
⋱
⋱
⋱
⋮
⋮
⋱
⋱
⋱
a
1
a
2
⋮
⋱
a
n
−
1
a
0
a
1
a
1
…
…
a
n
−
2
a
n
−
1
a
0
]
(
1
a
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &\ldots &a_{n-1}\\a_{n-1}&a_{0}&a_{1}&\ddots &&\vdots \\a_{n-2}&a_{n-1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{1}&a_{2}\\\vdots &&\ddots &a_{n-1}&a_{0}&a_{1}\\a_{1}&\ldots &\ldots &a_{n-2}&a_{n-1}&a_{0}\end{bmatrix}}\qquad \qquad (1a)}
que é um caso especial de matriz de Toeplitz . Toda matriz circulante é um quadrado latino . Uma definição alternativa e equaivalente a (1a) é
A
k
,
j
=
a
(
j
−
k
)
m
o
d
n
0
≤
k
,
j
≤
n
−
1
(
1
b
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{k,j}=a_{(j-k)\;mod\;n}\qquad 0\;\leq \;k,j\;\leq \;n-1\qquad (1b)}
onde mod é a função módulo e n é o número de linhas de A [ 1] [ 2] [ 3] .
Autovalores e autovetores
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Os autovalores λ e autovetores v de A são facilmente calculados:
λ
m
=
∑
k
=
0
n
−
1
a
k
⋅
e
−
2
π
i
m
k
n
0
≤
m
≤
n
−
1
(
2
a
)
{\displaystyle \lambda _{m}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\cdot e^{\frac {-2\pi imk}{n}}\qquad 0\;\leq \;m\;\leq \;n-1\qquad (2a)}
v
m
=
1
n
[
1
,
e
−
2
π
i
m
n
,
.
.
.
e
−
2
π
i
m
(
n
−
1
)
n
]
1
≤
m
≤
n
−
1
(
2
b
)
{\displaystyle \mathbf {v} _{m}={\sqrt {\frac {1}{n}}}\;\left[1,e^{\frac {-2\pi im}{n}},\;...\;e^{\frac {-2\pi im(n-1)}{n}}\right]\qquad 1\;\leq \;m\;\leq \;n-1\qquad (2b)}
A equação (2a) indica que os autovalores de uma matriz circulante qualquer são a transformada discreta de Fourier (DFT) do vetor a = [a0 ,a1 ,a2 ... an-1 ]. Por isso vale também a relação inversa
a
k
=
1
n
∑
j
=
0
n
−
1
λ
j
⋅
e
−
2
π
i
j
k
n
0
≤
k
≤
n
−
1
(
3
a
)
{\displaystyle a_{k}={\frac {1}{n}}\;\sum _{j=0}^{n-1}\lambda _{j}\cdot e^{\frac {-2\pi ijk}{n}}\qquad 0\;\leq \;k\;\leq \;n-1\qquad (3a)}
Em suma, a sequência dos autovalores de uma matriz circulante são iguais à DFT da primeira linha dessa matriz, e essa primeira linha da matriz é igual à DFT inversa da sequência dos autovalores.
A propriedade elementar dos autovalores λ e dos autovetores v de uma matriz qualquer B
B
v
m
=
λ
m
v
m
{\displaystyle \mathbf {B} \;\mathbf {v} _{m}=\lambda _{m}\;\mathbf {v} _{m}}
pode ser escrita de forma alternativa e equivalente como
B
V
=
V
Λ
(
2
c
)
{\displaystyle \mathbf {B} \;\mathbf {V} =\mathbf {V} \;\mathbf {\Lambda } \qquad (2c)}
onde V é a matriz composta pelos autovetores dispostos verticalmente
V
=
[
v
0
v
1
v
2
…
…
v
n
−
1
]
(
2
d
)
{\displaystyle \mathbf {V} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{0}&\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\ldots &\ldots &\mathbf {v} _{n-1}\end{bmatrix}}\qquad (2d)}
e Λ é a matriz diagonal formada pelos autovalores
Λ
=
[
λ
0
0
0
…
…
0
0
λ
1
0
⋱
⋮
0
0
⋱
⋱
⋱
⋮
⋮
⋱
⋱
⋱
0
0
⋮
⋱
0
λ
n
−
2
0
0
…
…
0
0
λ
n
−
1
]
(
2
e
)
{\displaystyle \mathbf {\Lambda } ={\begin{bmatrix}\lambda _{0}&0&0&\ldots &\ldots &0\\0&\lambda _{1}&0&\ddots &&\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0&0\\\vdots &&\ddots &0&\lambda _{n-2}&0\\0&\ldots &\ldots &0&0&\lambda _{n-1}\end{bmatrix}}\qquad \qquad (2e)}
A equação (2b) garante que, para toda matriz circulante, V é uma matriz unitária e que
V
V
∗
=
V
∗
V
=
I
(
2
f
)
{\displaystyle \mathbf {V} \;\mathbf {V} ^{*}=\mathbf {V} ^{*}\;\mathbf {V} =\mathbf {I} \qquad (2f)}
onde o asterisco (*) denota a matriz transposta conjugada e I é a matriz identidade de n linhas. Substituindo (2f) em (2c), temos que, para uma matriz circulante qualquer A
A
=
V
Λ
V
∗
(
2
g
)
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {V} \;\mathbf {\Lambda } \;\mathbf {V} ^{*}\qquad (2g)}
Λ
=
V
∗
A
V
(
2
h
)
{\displaystyle \mathbf {\Lambda } =\mathbf {V} ^{*}\;\mathbf {A} \;\mathbf {V} \qquad (2h)}
A equação (2g) indica que toda matriz circulante é uma matriz normal [ 4] [ nota 1] .
Propriedades algébricas
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Se A e C são matrizes circulantes, então valem as seguintes propriedades:
A
C
=
C
A
=
D
=
V
L
V
∗
(
4
a
)
{\displaystyle \mathbf {A} \;\mathbf {C} =\mathbf {C} \;\mathbf {A} =\mathbf {D} =\mathbf {V} \;\mathbf {L} \;\mathbf {V} ^{*}\qquad (4a)}
onde L é a matriz diagonal cujos elementos são o produto dos respectivos autovalores de A e de C . D é também uma matriz circulante.
A
+
C
=
D
=
V
L
V
∗
(
4
b
)
{\displaystyle \mathbf {A} \;+\;\mathbf {C} =\mathbf {D} =\mathbf {V} \;\mathbf {L} \;\mathbf {V} ^{*}\qquad (4b)}
onde L é a matriz diagonal cujos elementos são a soma dos respectivos autovalores de A e de C . D é também uma matriz circulante.
Se nenhum autovalor for nulo, então A é inversível e
A
−
1
=
V
λ
−
1
V
∗
(
4
c
)
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {V} \;\mathbf {\lambda } ^{-1}\;\mathbf {V} ^{*}\qquad (4c)}
A-1 é também uma matriz circulante[ 5] [ 3] .
Se a e b são escalares, então D = aA + bC é também uma matriz circulante[ 3] .
↑ Como V é unitária, V * = V -1 , (2g) e (2h) podem ser escritas também assim:
A
=
V
Λ
V
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {V} \;\mathbf {\Lambda } \;\mathbf {V} ^{-1}}
Λ
=
V
−
1
A
V
{\displaystyle \mathbf {\Lambda } =\mathbf {V} ^{-1}\;\mathbf {A} \;\mathbf {V} }
Referências
↑ Gray, R. - Toeplitz and Circulant Matrices: A review , cap. 1, pág. 3, disponível em http://ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf , acessado em 06/05/2014
↑ MathWorld: Circulant Matrix , disponível em http://mathworld.wolfram.com/CirculantMatrix.html , acessado em 06/05/2014
↑ a b c Bronson, R. - Matrix Operations , cap. 18, pág. 160, 1989, McGraw-Hill, ISBN 0-07-007978-1
↑ Gray, R. - op. cit. , cap. 3, pp. 32 a 34
↑ Gray, R. - op. cit. , cap. 3, pp. 34 a 35