Matriz de Transição de Estados

Na teoria de controle, a matriz de transição de estado é uma matriz cujo produto com o vetor de estado em um momento inicial permite obter após um tempo , permitindo assim conhecer o estado de um sistema em qualquer instante futuro. A matriz de transição de estado pode ser usada para obter a solução geral de sistemas dinâmicos lineares.

A matriz de transição de estado é usada para encontrar a solução para uma representação geral no espaço de estado de um sistema linear da seguinte forma

,

Onde são os estados do sistema, é o sinal de entrada, e são funções de matriz, e é a condição inicial em . Usando a matriz de transição de estado , a solução é dada por:[1][2]

O primeiro termo é conhecido como resposta de entrada zero e o segundo termo é conhecido como resposta de estado zero .

Série Peano – BakerEditar

A matriz de transição mais geral é dada pela série Peano-Baker

 

Onde   é a matriz de identidade . Esta matriz converge de maneira uniforme e absoluta para uma solução que existe e é única.[2]

Outras propriedadesEditar

A matriz de transição de estado   satisfaz os seguintes relacionamentos:

1 É contínuo e possui derivados contínuos.

2, nunca é singular; de fato   e  , Onde   é a matriz de identidade.

3 -   para todos   .[3]

4 -   para todos   .

5 Satisfaz a equação diferencial   com condições iniciais   .

6 A matriz de transição de estado  , dado por

 

onde o   matriz   é a matriz de solução fundamental que satisfaz

  com condição inicial   .

7 Dado o estado   a qualquer momento  , o estado em qualquer outro momento   é dado pelo mapeamento

 

Estimativa da matriz de transição de estadoEditar

No caso invariante no tempo, podemos definir  , usando a matriz exponencial, como   .

No caso da variante do tempo, a matriz de transição de estado   pode ser estimado a partir das soluções da equação diferencial   com condições iniciais   dado por  ,   ,. . .,   . As soluções correspondentes fornecem o   colunas de matriz   . Agora, da propriedade 4,   para todos   . A matriz de transição de estado deve ser determinada antes que a análise da solução variável no tempo possa continuar.

Ver tambémEditar

  • Expansão Magnus
  • Fórmula de Liouville

Referências

  1. Baake, Michael; Schlaegel, Ulrike (2011). «The Peano Baker Series». Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 275: 155–159 
  2. a b Rugh, Wilson (1996). Linear System Theory. Prentice Hall. Upper Saddle River, NJ: [s.n.] ISBN 0-13-441205-2 
  3. Brockett, Roger W. (1970). Finite Dimensional Linear Systems. John Wiley & Sons. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-471-10585-5 
  • Baake, M.; Schlaegel, U. (2011). «The Peano Baker Series». Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 275: 155–159 
  • Brogan, W.L. (1991). Modern Control Theory. Prentice Hall. [S.l.: s.n.] ISBN 0-13-589763-7