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Matriz idempotente

Em álgebra, uma matriz idempotente é uma matriz que, ao ser multiplicada por si mesma, resulta em si mesma. [1][2] Em outras palavras, a matriz A, é idempotente se e somente se [3]. Para que este produto AA seja possível, A deve necessariamente ser uma matriz quadrada.

PropriedadesEditar

  • Matrizes idempotentes são sempre positivas semi-definidas.[4]
  • Com exceção da matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre singular, ou seja, não admite inversa:
     
  • Se uma matriz A é idempotente, a matriz   também é.[3]

Matriz de projeçãoEditar

É possível construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada, a partir de matrizes não simétricas.[5] Seja   uma matriz de dimensão   com posto   . A Matriz de projeção é uma matriz quadrada, idempotente e hermitiana que se encaixa nessa categoria:

 , onde   denota a matriz transposta de X e   denota a matriz inversa da matriz  . Esta matriz é chamada de matriz de projeção porque sempre é verdade que   [6].

  • Uma propriedade importante desta matriz é que, se particionarmos a matriz X de dimensão nXk em duas matrizes   e   de tal forma que  , então
 :[7]

Por exemplo, sejam as matrizes  . Então,

  
  


  • A matriz de projeção é largamente utilizadas em econometria. Na estimação por mínimos quadrados ordinários, por exemplo, a matriz P gera os valores estimados da variável dependente y. Por causa desta propriedade, a matriz P também é chamada de "matriz chapéu" (hat matrix, em inglês)[7]:
 
  • P é sempre positiva semi-definida.
  • Toda matriz de projeção é idempotente, mas o contrário não é verdadeiro. Apenas as matrizes idempotentes que são simétricas (ou seja, cuja transposta é igual a ela mesma) e hermitianas são matrizes de projeção.

Matriz de aniquilaçãoEditar

  • Matriz de aniquilação:  . Esta matriz é chamada de matriz de aniquilação porque sempre é verdade que  .[6]

A matriz aniquiladora também é bastante útil em econometria. Pode-se provar que, dado um modelo econométrico de mínimos quadrados ordinários

 , sendo   matrizes, poderemos definir
  e
 

E então podemos estimar os coeficientes separadamente[8]:

 
 

NotasEditar

  1. Chiang, Alpha C. (1984), p. 80.
  2. Greene, William H. (2003), pp. 808–809.
  3. a b CHEN, Mei Yuan (2003)
  4. WOOLDRIDGE, p. 104.
  5. WOOLDRIDGE
  6. a b HAYASHI, Fumio (2000), p. 18
  7. a b HANSEN, Bruce (2011) p. 77
  8. HANSEN, Bruce (2011) p. 80

ReferênciasEditar

  • CHEN, Mei Yuan. Matrix Algebra for econometrics. Julho de 2003. National Chung Hsing University. Disponível em: <http://web.nchu.edu.tw/~finmyc/MAT-ALG1.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011. Seção 5.4: Idempotent Matrices.
  • Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw–Hill, 3rd edition, 1984: p. 80.
  • Greene, William H., Econometric Analysis, Prentice–Hall, 5th edition, 2003: pp. 808–809.
  • WOOLDRIDGE. Introdução à Econometria. Editora Thomson. Apêndice D - Resumo de álgebra matricial. Disponível em: <http://www.netofeitosa.com.br/caen_arquivos/econometria/wooldridge_d.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.
  • HAYASHI, Fumio. Econometrics. Princeton University Press. 2000. ISBN-10: 0-691-01018-8. Página 18.
  • HANSEN, Bruce. Econometrics. Janeiro de 2011. Disponível em: <http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/Econometrics.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.


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