Em matemática , matriz identidade é uma matriz diagonal , cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a
1
{\displaystyle 1}
I
n
{\displaystyle I_{n}}
n
{\displaystyle n}
I
{\displaystyle I}
I
n
{\displaystyle I_{n}}
[ 1] [ 2]
I
3
=
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
{\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,\!}
Modelo de uma matriz identidade
I
n
=
[
1
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
1
]
n
×
n
{\displaystyle I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}_{n\times n}\,\!}
A matriz
I
n
{\displaystyle I_{n}}
elemento neutro da multiplicação de matrizes. Mais precisamente, para qualquer matriz
A
{\displaystyle A}
igualdades são válidas:[ 1] [ 2]
A
m
,
n
I
n
=
A
m
,
n
{\displaystyle A_{m,n}I_{n}=A_{m,n}\,\!}
I
m
A
m
,
n
=
A
m
,
n
{\displaystyle I_{m}A_{m,n}=A_{m,n}\,\!}
A matriz
I
n
=
[
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
n
,
n
{\displaystyle I_{n}=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}}
[ 1]
a
i
,
j
=
{
1
,
se
i
=
j
0
,
se
i
≠
j
{\displaystyle a_{i,j}=\left\{{\begin{array}{rr}1&,{\text{se }}i=j\\0&,{\text{se }}i\neq j\end{array}}\right.}
é chamada de matriz identidade de ordem
n
{\displaystyle n}
Notações alternativas Editar
Existem outras notações alternativas para se representar uma matriz identidade. São elas:
A notação de matrizes diagonais :
I
n
=
diag
(
1
;
1
;
1
;
.
.
.
;
1
)
{\displaystyle I_{n}={\text{diag}}\left(1;1;1;...;1\right)\,\!}
A notação do Delta de Kronecker :
I
n
=
(
δ
x
,
y
)
n
{\displaystyle I_{n}={\left(\delta _{x,y}\right)}_{n}\,\!}
Matriz inversa Editar
O conceito de matriz identidade é relacionado ao conceito de matriz inversa . Uma matriz multiplicada pela sua inversa é igual à matriz identidade.
A
⋅
A
−
1
=
I
{\displaystyle A\cdot A^{-1}=I\,\!}
A matriz inversa de uma matriz identidade é a própria matriz identidade, ou seja:
I
=
I
−
1
{\displaystyle I=I^{-1}\,\!}
Matriz transposta Editar
A matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.
I
=
I
t
{\displaystyle I=I^{t}\,\!}
Matriz identidade refletida Editar
Multiplicando-se uma matriz qualquer pela matriz identidade refletida há a reflexão horizontal ou vertical da matriz. A matriz identidade refletida possui todos os elementos iguais a zero, exceto os da diagonal secundária, que são iguais a 1.
Considerando-se uma matriz A :
A
x
,
y
=
[
a
1
,
1
a
1
,
2
⋯
a
1
,
y
a
2
,
1
a
2
,
2
⋯
a
2
,
y
⋮
⋮
⋱
⋮
a
x
,
1
a
x
,
2
⋯
a
x
,
y
]
{\displaystyle A_{x,y}={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,y}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,y}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{x,1}&a_{x,2}&\cdots &a_{x,y}\\\end{bmatrix}}}
Quando a matriz A é multiplicada pela matriz identidade refletida (com A à esquerda), há reflexão horizontal da matriz A :
A
x
,
y
⋅
R
y
=
[
a
1
,
y
a
1
,
y
−
1
⋯
a
1
,
1
a
2
,
y
a
2
,
y
−
1
⋯
a
2
,
1
⋮
⋮
⋱
⋮
a
x
,
y
a
x
,
y
−
1
⋯
a
x
,
1
]
{\displaystyle A_{x,y}\cdot R_{y}={\begin{bmatrix}a_{1,y}&a_{1,y-1}&\cdots &a_{1,1}\\a_{2,y}&a_{2,y-1}&\cdots &a_{2,1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{x,y}&a_{x,y-1}&\cdots &a_{x,1}\\\end{bmatrix}}}
Quando a matriz identidade refletida é multiplicada pela matriz A (com A à direita), há reflexão vertical da matriz A :
R
x
⋅
A
x
,
y
=
[
a
x
,
1
a
x
,
2
⋯
a
x
,
y
a
x
−
1
,
1
a
x
−
1
,
2
⋯
a
x
−
1
,
y
⋮
⋮
⋱
⋮
a
1
,
1
a
1
,
2
⋯
a
1
,
y
]
{\displaystyle R_{x}\cdot A_{x,y}={\begin{bmatrix}a_{x,1}&a_{x,2}&\cdots &a_{x,y}\\a_{x-1,1}&a_{x-1,2}&\cdots &a_{x-1,y}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,y}\\\end{bmatrix}}}
Referências
↑ a b c Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 ↑ a b Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445 
![{\displaystyle I_{n}=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a78962266d26c750ee8074b5904c5f80165f7b)
