Matriz ortogonal

Disambig grey.svg Nota: Para matrizes complexas ortogonais, veja Matriz unitária.

Em Álgebra linear, uma matriz quadrada é dita ortogonal se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta.[1][2][3]

Isto é, uma matriz é ortogonal se

DefiniçãoEditar

Uma matriz   é dita ortogonal se:

  • For invertível, isto é:  ;[4]
  • Sua matriz inversa   coincide com sua matriz transposta  , isto é:  [5]

ExemplosEditar

 ;
 
 

PropriedadesEditar

Matrizes ortogonais possuem as seguintes propriedades:[1]

  • Se   é uma matriz ortogonal, então  .[demonstração 1]
  1. A matriz   é ortogonal se, e somente se, sua transposta   também é.[demonstração 4]
  • Se   é uma matriz ortogonal, então   é ortogonal se, e somente se,  .[demonstração 5]

Ver tambémEditar

Referências

BibliografiaEditar

  • Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 
  • Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445 
  • Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093 
  • Santos, Reginaldo J. (2013). Introdução à Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa universitária - UFMG. ISBN 8574700185 

DemonstraçõesEditar

  1. Da definição, tem-se que:  , então  . Pelo Teorema de Binet,  , então  .
    No entanto, sabe-se também da definição que   implica  .
    Logo,  , de onde aplicando a raiz dos dois lados da equação, obtém-se  .
  2. Seja   uma matriz ortogonal, onde   indica a i-ésima coluna de  . Como  , temos  , donde vemos que:
     
    isto é, o conjunto formado pelos vetores coluna   é um conjunto ortonormal.
    Reciprocamente, se as colunas de   formam um conjunto ortonormal de vetores, então vemos por cálculo direto que  .
  3. Segue raciocínio análogo do usado na demonstração da propriedade anterior.
  4. Segue imediatamente da observação de que:
     .
  5. Por hipótese,  . Com isso, temos:
     .
    Agora,   se, e somente se,  . Isso completa a demonstração.