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Medida (matemática)

conceito matemático em teoria da medida
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Em matemática, uma medida é uma função que atribui um valor aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.

Índice

Medida positiva (+)Editar

Uma medida positiva definida numa σ-algebra X de subconjuntos de um conjunto S é uma função   tal que:

  •  
  •  , para qualquer coleção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Os elementos, neste caso conjuntos, de X chamam-se conjuntos X-mensuráveis (ou apenas conjuntos mensuráveis).

São conseqüências diretas da definição de medida postiva:

  • Não-negatividade:
 

Prova:

  • Monotonicidade
 
Prova: Como  , vale que  , sendo esta união disjunta. Logo, da definição de medida, vale que  , pela não-negatividade de  .

ExemplosEditar

  •  

Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.

  • Medida de Dirac:
 


  • As medidas de Borel e de Lebesgue em   verificam a propriedade  

Medida complexaEditar

Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função   tal que:

  •  
  •  , para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.

ExemplosEditar

  define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de  

PropriedadesEditar

Algumas medidas possuem propriedades adicionais:

  • Medida completa:
Se   tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)
  • Medida invariante por translações:
 , onde  

(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)

  • Medida de Borel:
Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.
  • Regularidade interior:
  e   são compactos.
  • Regularidade exterior:
  e   são abertos.
  • Medida finita: o espaço inteiro tem medida finita.
 
  • Medida  finita: o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.
 
  • Medida localmente finita: todo compacto é mensurável e tem medida finita
 , para todo compacto  


O Wikilivros tem um livro chamado Medida e integração