Medida de Lebesgue

uma formalização matemática do comprimento, área ou volume de um conjunto

Em matemática, a medida de Lebesgue é a generalização padrão do conceitos de comprimento na reta, área no plano e volume no espaço. A medida de Lebesgue está definida para uma ampla família de subconjuntos do . Esta família é na realidade uma sigma-álgebra e contém os conjuntos abertos e conjuntos fechados.

Nomenclatura e propriedadesEditar

A medida de Lebesgue em   é uma função  . A família   é compostas por subconjuntos de   que são chamados de conjuntos mensuráveis à Lebesgue ou conjuntos Lebesgue mensuráveis. Possui as seguintes propriedades:

  • Seja  , então   e:
 
  • Em especial:
 
  • Se   então   e, ainda:
 , onde a igualdade ocorre se os conjuntos   forem disjuntos dois a dois.
  • Se   então  .
  • Se   e   então   é mensurável e tem medida zero.
  • É invariante por translação, ou seja, se   é mensurável e   é definido como   então   é mensurável e :
 
  • Se   é mensurável e   é uma transformação linear, então   é mensurável e:
 , onde   é o determinante da transformação.

Ver tambémEditar