Monoide

estrutura algébrica com uma operação associativa e um elemento identidade
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Em álgebra abstrata, um monoide é uma estrutura algébrica com uma única operação binária, associativa e com um elemento neutro.[1]

Monoides ocorrem em alguns ramos da matemática. Em geometria, um monoide captura a ideia de composição de função. Essa noção é abstraída da teoria das categorias, no qual o monoide é uma categoria com um objeto. Os monoides são usados comumente para fornecer fundações algébricas à ciência da computação. Nesse caso, alguns tipos de monoides são usados para descrever uma máquina de estado finito.

Definição formalEditar

Um monoide pode ser definido de três maneiras completamente equivalentes. Sendo   uma operação qualquer:

  1. é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes propriedades:
    1. fechamento: dado   o elemento resultante da composição de   e   pertence a   ( );
    2. associatividade: para todos   vale  ;
    3. existência do elemento neutro: existe um único   tal que para todo   vale  .
  2. é um magma dotado das propriedades:
    1. associativa (associatividade) para todos   vale  ;
    2. existência de um elemento neutro   tal que existe um único   tal que para todo   vale  .
  3. é um semi-grupo dotado da existência de um elemento neutro  : existe um único   tal que para todo   vale  .

Um monoide para o qual todo elemento possui elemento inverso é um grupo.

Um monoide é puro quando o único elemento que possui inverso é a identidade.[2]

PropriedadesEditar

  • Em um monoide, se um elemento tem um inverso, então o inverso é único.[2]
  • O conjunto dos elementos inversíveis de um monoide M, Inv M, é um grupo.[2]

Ver tambémEditar


Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
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Referências

  1. Monoid, no site C++ Boost
  2. a b c Invertible Elements, Pure Monoids, no site do Departmento of Mathematics da Carnegie Mellon University
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