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Em matemática, um número de Fermat é um número inteiro positivo da forma:[1]

sendo um número natural.

Pierre de Fermat lançou a conjectura, em uma carta escrita para Marin Mersenne, que estes números eram primos.[1] Mas mais tarde Leonard Euler provou que não era assim; para obtinha-se um número composto:[1]

Até hoje só são conhecidos cinco números primos de Fermat, e não se sabe se há mais ou não:[1]

Os números de Fermat de ordem até ,[2] bem como, números enormes como e são comprovadamente compostos.

Índice

Propriedades dos números de FermatEditar

  • Um número de Fermat é igual ao produto de todos os anteriores mais 2.[1]

Prova por indução:Vale para  , pois  . Agora, se ele vale para  , então ele vale para  :

 
 
 
 
  • Todo número de Fermat composto   pode ser decomposto em fatores primos na forma  , com   inteiro positivo.[1]
  • Pode-se provar que dois números de Fermat distintos são primos entre si.
  • Se   é um número primo, então o polígono regular de   lados pode ser construído com régua e compasso.[1]


Primalidade dos números de FermatEditar

 Ver artigo principal: Teste de primalidade de Fermat


Números de Fermat e primos de Fermat foram estudadas pela primeira vez por Pierre de Fermat, que conjecturado (mas admitiu que não poderia provar) que todos os números de Fermat são primos. De fato, os primeiros cinco números de Fermat   são primos. No entanto, esta conjectura foi refutada por Leonhard Euler em 1732, quando ele mostrou que

 

Euler provou que todo o elemento de   deve ter a forma que   (depois melhorou para   por Lucas).

O fato de que 641 é um fator de   pode ser facilmente deduzido a partir das igualdades   e  . Segue-se a partir da primeira igualdade que   e, portanto, (elevar à quarta potência) que  . Por outro lado, a segunda igualdade implica que  . Estes congruências implica que  .

Acredita-se que Fermat estava ciente da forma de os fatores mais tarde comprovadas por Euler, por isso parece curioso porque ele não conseguiu acompanhar, através de cálculo simples para encontrar o fator.[3] Uma explicação comum é que Fermat cometeu um erro computacional e estava tão convencido da justeza da sua afirmação de que ele não conseguiu verificar novamente seu trabalho.

Não existem outros números primos de Fermat conhecidos   com  . No entanto, pouco se sabe sobre os números de Fermat com maiores que  .[4] Na verdade, cada um dos seguintes é um problema em aberto:

  • É   composto para todos   ?
  • Existem infinitos números primos de Fermat ? (Eisenstein 1844)[5]
  • Existem infinitos números de Fermat compostos ?

A de 2014 sabe-se que   é composto por  , embora as fatorizações completas de   são conhecidas apenas para  , e não há fatores conhecidos para   e  .[6] O maior número Fermat conhecido por ser composto é  , e suas fator primo  , um Megaprimo, foi descoberto pela colaboração PrimeGrid em julho de 2014.[6][7]


Argumentos heurísticos para a densidadeEditar

O seguinte argumento heurístico sugere que há apenas alguns números primos finito de Fermat: de acordo com o teorema de número primo, a "probabilidade" de que um número   ser primo é, no máximo, , em que   é uma constante fixa. Portanto, o número esperado máximo de números primos Fermat é

 

Ressalte-se que este argumento é de nenhuma maneira uma prova rigorosa. Por um lado, o argumento pressupõe que os números de Fermat se comportam "de forma aleatória", mas já vimos que os fatores de números de Fermat tem propriedades especiais.

Se (mais sofisticada) consideramos o condicional probabilidade de que   é primo, uma vez que sabemos todos os seus fatores primos excedem  , como a mais  , em seguida, usando o teorema de Euler que o fator menos nobre de   excede  , encontraríamos vez

 

Embora tais argumentos geram a crença de que há apenas alguns números primos de Fermat finito, também se pode produzir argumentos para a conclusão oposta. Suponha que nós consideramos a probabilidade condicional de que   seja primo, uma vez que sabemos todos os seus fatores primos são   modulo  , como, pelo menos,  . Em seguida, usando o resultado de Euler que   veremos que o número total esperado de números primos de Fermat seja pelo menos,

 

e na verdade este argumento prevê que um assintoticamente fração constante dos números de Fermat são primos.


Condições equivalentes de primalidadeEditar

Há uma série de condições que são equivalentes para a primalidade de  .

  • Teorema de Proth (1878)—Permite que   com o antigo  . Se houver um número inteiro   tal que
 
Tal que   seja primo. Por outro lado, se a congruência acima não ter, e além
  (Veja Símbolo de Jacobi)
Tal que   seja composto. Se  ,

em seguida, o símbolo de Jacobi acima é sempre igual a   para  , e neste caso especial do teorema de Proth é conhecido como teste de Pépin. Embora o teste de Pépin e teorema de Proth foram implementados em computadores para provar o grau de composição de alguns números de Fermat, nem o teste dá um fator não trivial específico. Na verdade, não existe fatores primos específicos conhecidos por   e  .

  • Permite que   seja um inteiro positivo anterior. Tal que   seja um número primo de Fermat se e apenas se a cada   co-primo   seja um módulo de raiz primitiva   se e somente se   for um módulo resíduo não quadrático de  .
  • O número de Fermat   é primo se e apenas se puder ser escrito unicamente como uma soma de dois quadrado diferentes de zero, mais conhecido
 
Quando   não é da forma acima indicada, um factor adequado é:
  (Veja Máximo divisor comum)
 , assim um factor adequado é
 
 , assim um factor adequado é
 

Problemas em abertoEditar

Eis algumas questões em aberto a respeito dos números de Fermat:

  • Serão finitos os números primos de Fermat?[1]
  • Se são finitos, quantos são?
  • Se são infinitos, serão os números compostos de Fermat finitos?
  • Serão todos os números de Fermat inteiros sem fator quadrático?

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b c d e f g h Chris K. Caldwell, The Prime Glossary, Fermat number[em linha] (em inglês)
  2. Prime Curios!. (em inglês)
  3. Křížek, Luca & Somer 2001, p. 38, Remark 4.15
  4. Chris Caldwell, "Prime Links++: special forms" Arquivado em 24 de dezembro de 2013, no Wayback Machine. at The Prime Pages.
  5. Ribenboim 1996, p. 88.
  6. a b Keller, Wilfrid (February 7, 2012), Prime Factors of Fermat Numbers Arquivado em 10 de fevereiro de 2016, no Wayback Machine. (em inglês)
  7. «PrimeGrid's Mega Prime Search - 193*2^3329782+1 (official announcement)» (PDF). PrimeGrid. Consultado em 7 de agosto de 2014 

BibliografiaEditar

  1. Michal Krizek, Florian Luca, Lawrence Somer, 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Springer Science & Business Media, 2001 ISBN 0-387-95332-9 (em inglês)
  2. David Wells, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, 2011 ISBN 1-118-04571-8 (em inglês)
  3. Daniel Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st Edition, CRC Press, 2002. ISBN 1-420-03534-7. (em inglês)
  4. James K. Strayer, Elementary Number Theory, Waveland Press, 2001 ISBN 1-478-61040-9 (em inglês)
  5. Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5 (em inglês)

Ligações externasEditar


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