Número hipercomplexo

Conjuntos de números
$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \cdots$
Naturais $\mathbb {N}$ Inteiros $\mathbb {Z}$ Racionais $\mathbb {Q}$ Reais $\mathbb {R}$ Imaginários Complexos $\mathbb {C}$ Números hiper-reais Números hipercomplexos
Quaterniões $\mathbb {H}$ Octoniões $\mathbb {O}$ Sedeniões $\mathbb {S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb {R} ^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões

Em matemática, números hipercomplexos são extensões dos números complexos construídos por meios da álgebra abstrata, tal como os quaterniões, coquaterniões, tessarinos, coquaternions, octoniões, split-octoniões, biquaternions e sedeniões.

A forma geral de um número hipercomplexo é dada por:

$a_{0}+a_{1}\cdot i_{1}+a_{2}\cdot i_{2}+...+a_{n}\cdot i_{n}(1)$

onde n é um inteiro determinado e $a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n}$ são números reais arbitrários e $i_{0},i_{1},i_{2},...,i_{n}$ são tais que

$a_{0}+a_{1}\cdot i_{1}+a_{2}\cdot i_{2}+...+a_{n}\cdot i_{n}=b_{0}+b_{1}\cdot i_{1}+b_{2}\cdot i_{2}+...+b_{n}\cdot i_{n}$

se e somente se:

$a_{0}=b_{0},a_{1}=b_{1},a_{2}=b_{2},...,a_{n}=b_{n}\,\!$

A equação na forma (1) é chamada de número complexo de n-ésima ordem. Cada multiplicação de duas bases $i_{a}$ e $i_{b}$ é necessariamente um elemento do conjunto do número hipercomplexo que está sendo definido. Em outras palavras, dados dois números inteiros (de 1 a n) a e b, e números reais $p_{0}$ até $p_{n}$, podemos definir uma multiplicação tal que:

$i_{a}\cdot i_{b}=p_{0}+p_{1}\cdot i_{1}+p_{2}\cdot i_{2}+...+p_{n}\cdot i_{n}$

Logo, para números hipercomplexos de n-ésima ordem, $n\cdot n\cdot (n+1)$, números de tais constantes devem ser definidas para se determinar a forma algébrica. (Exemplos: números reais (ordem 0) não requerem nenhum, números complexos (1ª ordem) requerem 2, números quaternários (3ª ordem) requerem no total 36 números).