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Número racional

número que pode ser expresso como um quociente entre dois números inteiros
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Índice

Em Matemática, um Número racional é todo número que pode ser representado por uma razão ou fração a/b de dois números inteiros, um numerador a e um denominador não nulo b. Podemos considerar que todos os números inteiros também são racionais, bastando tomar b igual a 1.

O conjunto dos números racionais, representado por é definido por:

Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros e , em que é não nulo, pois, matematicamente, dividir por zero é considerado um erro ou uma indefinição.

Números racionais podem ser formalmente definidos como classes de equivalência do par de inteiros em que , para a relação de equivalência definida por se, e somente se, .

Os números racionais junto com a adição e a multiplicação formam um campo que contém os inteiros e é contido por qualquer campo que contém os inteiros. Extensões finitas de são chamadas de campos de números algébricos, e o fechamento algébrico de é o campo dos números algébricos.

Em análise matemática, os números racionais formam um subconjunto denso dos números reais. Os números reais podem ser construídos a partir dos números racionais por complementação, usando as sequências de Cauchy, cortes de Dedekind, ou decimais infinitos.

O uso da letra "Q" é derivado da palavra latina quotiē(n)s [1], cujo significado é quantas vezes.

São exemplos de números racionais:

Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.

Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: Frações (próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Exemplos:

  • Fração:
  • Na Fração é o numerador e o denominador. Se e são primos entre si, isto é, se dizemos que essa fração é irredutível.
  • Numeral misto:
  • Números decimais de escrita finita:
  • Dízimas periódicas: ou

Subconjuntos de [2]Editar

  • conjuntos dos racionais não nulos.
  • conjuntos dos racionais não negativos.
  • conjuntos dos racionais positivos.
  • conjuntos dos racionais não positivos.
  • conjunto dos racionais negativos.

Propriedades de Editar

Sejam     e  

AdiçãoEditar
    1.   (associativa)
    2.   (comutativa)
    3.   (elemento neutro da soma)
    4.   (simétrico para a adição)
MultiplicaçãoEditar
    1.   (associativa)
    2.   (comutativa)
    3.   (elemento neutro da multiplicação)
    4.   (distributiva)
    5.    e   existe   tal que   (simétrico para a multiplicação)

Com isso, podemos definir em   a divisão, tal que   para    

Equivalência de fraçõesEditar

  é o mesmo que  

Não, essas frações na verdade representam quantidades iguais, ou seja, são equivalentes.

Quando os denominadores são iguais é fácil identificar se as quantidades representadas por duas frações são iguais, pois

 

 

Agora, quando os denominadores não são iguais usamos a seguinte definição:

Sendo   e   números inteiros, dizemos que as frações   e   são frações equivalentes, o que denotamos por:

 

Quando, e somente quando, tivermos   ou seja

 

Exemplos:

  •  
  •  
  •  

Propriedades de equivalência de fraçõesEditar

  1.   (reflexiva)
  2.   (simétrica)
  3.   e   (transitiva)

Classe de fraçõesEditar

[3]A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Usualmente trabalhamos com a fração irredutível deste conjunto. A cada classe de equivalência de fração associamos um número racional.

Classe significa o mesmo que conjunto e é usada quando um conjunto de objetos matemáticos são, de alguma maneira, todos equivalentes entre si.

Exemplo:   neste caso  

O número zero racional consiste na classe   Ele é o único número racional que tem representações fracionárias, tanto com numerador e denominador de sinais iguais, como de sinais opostos.

Ordenação dos racionais[4]Editar

A relação de ordem entre números racionais sempre é estabelecida a partir de representações fracionárias de denominadores positivos.

Dados dois números racionais   e  

 

Teorema:

O corpo   tem a estrutura de corpo ordenado, ou seja, é um corpo no qual a relação de ordem verifica as duas seguintes propriedades:

Sendo  

  1.  
     
     
     
  2.  
     
     
     

Propriedade arquimediana em  Editar

Dado um número racional   para cada escolha de   sempre é possível encontrar    tal que  

  e   onde   é o menor possível.

 

 

 

Sabemos então que quando     porém não temos como determinar o menor racional que seja maior que   Então basta tomarmos um   Por exemplo:  

 

Densidade dos racionaisEditar

Um conjunto  de números racionais é dito denso (em  ) se entre dois quaisquer elementos distintos de  existam infinitos elementos de  ou seja, entre os dois elementos de  dados, existam infinitos intermediários que estão em  

Teorema:

A média aritmética de quaisquer dois números racionais sempre é um número intermediário entre eles. Se  

Hipótese:  

Tese:  

Temos que   

Então,  

 

 

 

Representação decimalEditar

Podemos passar um número racional  para a forma decimal dividindo o inteiro  pelo inteiro  com isso podemos obter dois casos:

  1. Um número decimal que tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero, isto é, uma decimal exata. Exemplos:     e  
  2. Um número decimal que tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, uma dízima periódica. Exemplos:
    •   dízima periódica simples
    •   dízima periódica simples
    •   dízima periódica composta

Todo número na forma de decimal exata ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração   portanto, representa um número racional.

Quando a decimal é exata, podemos escrevê-lo em forma de fração, cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula, e cujo denominador é o algarismo  seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. Exemplo:

  •  
  •  

Quando a decimal é uma dízima periódica, temos que procurar sua geratriz. Exemplos:

  1.  
    •  
  2.  
    •  
  3.  
    •  
    •  

Referências

  1. Diccionario básico Latino Español/ Español latino ISBN 84-7153-223-9
  2. Iezzi, Gelson (2004). Fundamentos de matemática elementar,1: conjuntos e funções. São Paulo: Atual. ISBN 9788535704556 
  3. «classe de equivalência de frações» (PDF). Consultado em 22 de agosto de 2016. 
  4. Ripoll, Cydara Cavedon (2011). Números Racionais, Reais e Complexos. Porto Alegre: UFRGS. ISBN 9788538601289 


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