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Número racional

número que pode ser expresso como um quociente entre dois números inteiros
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Em matemática, um número racional é todo número que pode ser representado por uma razão ou fração de dois números inteiros, um numerador a e um denominador não nulo b. Podemos considerar que todos os números inteiros também são racionais, bastando tomar b igual a 1.

O conjunto dos números racionais, representado por é definido por:

Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros e , em que é não nulo, pois, matematicamente, dividir por zero é considerado um erro ou uma indefinição.

Números racionais podem ser formalmente definidos como classes de equivalência do par de inteiros em que , para a relação de equivalência definida por se, e somente se, .

Os números racionais junto com a adição e a multiplicação formam um campo que contém os inteiros e é contido por qualquer campo que contém os inteiros. Extensões finitas de são chamadas de campos de números algébricos, e o fechamento algébrico de é o campo dos números algébricos.

Em análise matemática, os números racionais formam um subconjunto denso dos números reais. Os números reais podem ser construídos a partir dos números racionais por complementação, usando as sequências de Cauchy, cortes de Dedekind ou decimais infinitos.

O uso da letra "Q" é derivado da palavra latina quotiē(n)s [1], cujo significado é quantas vezes.

São exemplos de números racionais:

Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.

HistóricoEditar

É provável que o conceito de números fracionários remonte aos tempos pré-históricos. Os antigos egípcios usavam sua notação de fração egípcia para números racionais em textos matemáticos, como o Papiro Matemático Rhind e o Papiro Kahun. Os matemáticos gregos e indianos clássicos fizeram estudos da teoria dos números racionais, como parte do estudo geral da teoria dos números. Os mais conhecidos deles são os Elementos de Euclides, que datam de aproximadamente 300 a.C. Dos textos indianos, o mais relevante é o Sutra Sthananga, que também cobre a teoria dos números como parte de um estudo geral da matemática.

O conceito de frações decimais está intimamente ligado à notação decimal de valor de local; os dois parecem ter se desenvolvido em conjunto. Por exemplo, é comum os matemáticos Jain sutra incluírem cálculos de aproximações de frações decimais a pi ou à raiz quadrada de 2. Da mesma forma, os textos matemáticos babilônicos usaram frações sexagesimais (base 60) com grande frequência [nota 1].

Definição e exemplosEditar

Números racionais são todos os números que podem ser escritos na forma de fração   com  , incluindo os equivalentes de  . O conjunto dos números racionais ( ) são todos os números racionais[2]. Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: frações (próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas periódicas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos que se repetem infinitamente [3]. Exemplos:

  • Fração:  
  • Na fração     é o numerador e   o denominador. Se   e   são primos entre si, isto é, se   dizemos que essa fração é irredutível.
  • Numeral misto[4]:  [nota 2]
  • Números decimais de escrita finita:  
  • Dízimas periódicas:   ou  

Subconjuntos de Editar

No conjunto dos racionais, podemos citar os seguintes subconjuntos:[6]

  •   conjuntos dos racionais não nulos.
  •   conjuntos dos racionais não negativos.
  •   conjuntos dos racionais positivos.
  •   conjuntos dos racionais não positivos.
  •   conjunto dos racionais negativos.

Propriedades de Editar

Sejam     e   [6]

AdiçãoEditar

  1.   (associativa)
  2.   (comutativa)
  3.   (elemento neutro da soma)
  4.   (simétrico para a adição)

MultiplicaçãoEditar

  1.   (associativa)
  2.   (comutativa)
  3.   (elemento neutro da multiplicação)
  4.   (distributiva)
  5.    e   existe   tal que   (simétrico para a multiplicação)

Com isso, podemos definir em   a divisão, tal que   para    

Equivalência de fraçõesEditar

Ao trabalhar com frações, temos que elas podem representar a mesma parte de um inteiro. Quando isso ocorrer, as duas frações são equivalentes.[7]

  é o mesmo que  

 
Perceba que a quantidade de "pedaços" são diferentes, mas quantidade no círculo é igual.

Não, essas frações na verdade representam quantidades iguais, ou seja, são equivalentes.

Quando os denominadores são iguais é fácil identificar se as quantidades representadas por duas frações são iguais, pois a quantidade da fração   não será a mesma de   e  , pois  .

Agora, quando os denominadores não são iguais usamos a seguinte definição:[2]

Sendo   e   números inteiros, dizemos que as frações   e   são frações equivalentes quando, e somente quando, tivermos   ou seja

 

Exemplos:

  •  
  •  
  •  

Propriedades de equivalência de fraçõesEditar

As frações equivalentes possuem as seguintes propriedades:[2]

  1.   (reflexiva)
  2.   (simétrica)
  3.   e   (transitiva) [nota 3]
  4. Teorema da igualdade e equivalência:[2] Um número racional qualquer d, dado por uma fração  , é igual a um outro número racional e, com a forma de fração   se, e somente se, essas duas frações forem equivalentes. Ou seja,   [nota 4]

Unicidade da fração irredutívelEditar

Todo número racional é representado por uma, e só uma, fração irredutível de denominador positivo.[nota 5]

Classe de fraçõesEditar

Podemos perceber, pela equivalência, que existem diversas formas de representar uma fração. Quando fazemos um conjunto destas frações equivalentes, temos a classe de equivalência da fração. Para simplificação, utilizamos a fração irredutível e cada classe de equivalência se associa a um número racional.[8]

Classe tem o mesmo significado de conjunto, mas utilizamos este nome quando trabalhamos com objetos matemáticos equivalentes entre si, de alguma maneira.

Exemplo:   neste caso  

O número zero é o único número racional que possui representações de numerador e denominador com sinais iguais e diferentes, onde podemos escrever a seguinte classe:  

Ordenação dos racionaisEditar

Por convenção, serão consideradas, para a relação de ordem, as representações decimais com denominadores positivos.[2]

Considerando   e   com  

 

O corpo  possui a estrutura de corpo ordenado. Desse modo, verificam-se as propriedades:

Sendo  

  1.  
     
     
     
  2.  
     
     
     

Propriedade arquimediana em  Editar

Dados os números  podemos encontrar   tal que   [2]

  e   onde   é o menor possível.

 

 

 

 

 

Sabemos então que quando    . Entretanto, não temos como definir o menor racional possível, pois poderá haver um menor ainda que seja maior que  . Então basta tomarmos um  , como  

 

Densidade dos racionaisEditar

Se existirem, dentro de um conjunto C de números racionais, infinitos elementos de C entre dois elementos de  , então o conjunto C é denso em  .[2]

Temos como garantia da densidade que a média aritmética de quaisquer dois números racionais sempre é um número intermediário entre eles.[nota 6]

Representação decimalEditar

Podemos passar um número racional   para a forma decimal dividindo o inteiro   pelo inteiro  , com isso podemos obter dois casos:[6]

  1. Um número decimal que tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero, isto é, uma decimal exata. Exemplos:     e  
  2. Um número decimal que tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, uma dízima periódica. Exemplos:
    •   dízima periódica simples
    •   dízima periódica simples
    •   dízima periódica composta

Todo número na forma de decimal exata ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração   portanto, representa um número racional.

Quando a decimal é exata, podemos escrevê-la em forma de fração, cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula, e cujo denominador é o algarismo  seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. Exemplo:

  •  
  •  

Quando a decimal é uma dízima periódica, temos que procurar sua geratriz. Exemplos:

  1.  
    •  
  2.  
    •  
  3.  
    •  
    •  

Método das DivisõesEditar

 Ver artigo principal: Método das divisões

Todo número racional p pode ter sua expansão decimal escrita da seguinte maneira:[2]

 

Podemos escrever, de forma mais simplificada, dessa maneira:

 

Podemos ver que as casas depois da vírgula (ou parte fracionária (positiva)) podem ser escritas como uma soma de frações decimais, as quais terão como numerador o número de sua respectiva casa decimal. Esse método pode ser utilizado tanto em uma fração ordinária que é equivalente a uma fração decimal quanto nas que não são equivalentes.

Em resumo, para gerar uma expressão decimal   de um racional que está entre 0 e 1, realizaremos, durante a aplicação deste método, sucessivas divisões euclidianas. Assim, teremos a seguinte ideia:

  , com  
  , com  
  , com 0  
...

Isso gera um número escrito da seguinte forma:

 

Veja que q se refere aos quocientes e r se refere aos restos das divisões euclidianas. Perceba que se r for igual a b, geraria uma dízima periódica. até chegar ao primeiro resto nulo ou, caso a fração seja não equivalente a decimal, gerando uma expansão decimal infinita periódica, ou seja, paramos quando houver a primeira repetição de resto.

Notas

  1. Retirado e traduzido da wikipédia inglesa na página Number
  2. Essa forma escrita separa a parte inteira e a parte fracionária, escrevendo a adição de inteiro e um número fracionário. Vendo o exemplo  , é o mesmo que escrever  . Veja que a divisão   pode ser escrito como  . Perceba que os números aparecem na escrita  , onde 1 é o quociente da divisão, 2 é o resto (virando o numerador) e 3 é o divisor (virando o denominador) [5]
  3. Demonstração da propriedade transitiva [2] Se   então  . Vamos chamar essa equação de [A], utilizaremos esse resultado posteriormente. Da mesma forma, se   então  , essa equação chamaremos de [B]. Multiplicando a equação [A] por u,  . Igualmente multiplicando a equação [B], mas por q, temos  . Veja que existe um termo em comum nas duas equações, ruq. Com isso, podemos afirmar:  .Ou seja, vale que  . Como s é um denominador, então   Desse modo, como  . Desse jeito, temos que as frações são equivalentes.
  4. {{{1}}}
  5. Demonstração da unicidade da fração irredutível: Seja   uma fração representando um racional dado. Já sabemos que podemos supor que  . O teorema ficará demonstrado se provarmos que existe exatamente uma fração irredutível e de denominador positivo que seja equivalente a  .
    1. Existe uma: Seja   com  . Se tivermos  , a fração dada já é irredutível. Resta examinarmos os casos  . Os subcasos triviais  , e  , são imediatos (  e   já é irredutível). Tratemos dos subcasos  . Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, podemos escrever   e  , onde   é o produto de todos os divisores primos comuns a   e  , e   e   é o que resta das respectivas fatorações. Ora, de imediato que   (pois, como  , provar   é o mesmo que provar  , ou ainda,  ), e   é facilmente visto ser irredutível e de denominador positivo.
    2. Existe somente uma: Se tivermos   e  . com ambas   e   irredutíveis, e de denominador positivo, pela transitividade da relação de equivalência entre frações, tiramos que  . Logo, como a única maneira de duas frações irredutíveis e de denominador positivo serem equivalente é estas serem iguais, assim temos que   e  .
  6. Se   Hipótese:   Tese:   Temos que   e   Então,        

Referências

  1. Diccionario básico Latino Español/ Español latino ISBN 84-7153-223-9
  2. a b c d e f g h i Ripoll, Cydara Cavedon (2011). Números Racionais, Reais e Complexos. Porto Alegre: UFRGS. ISBN 9788538601289 
  3. «o que são números racionais». Consultado em 1 de julho de 2019 
  4. «Número misto». Consultado em 1 de julho de 2019 
  5. Miani, Marcos (2006). Matemática no plural: ensino fundamental: manual do professor. São Paulo: IBEP. ISBN 9788534219594 
  6. a b c Iezzi, Gelson (2004). Fundamentos de matemática elementar,1: conjuntos e funções. São Paulo: Atual. ISBN 9788535704556 
  7. Mori, Iracema (2005). Matemática: idéias e desafios, 5ª série. São Paulo: Saraiva. ISBN 9788502053151 
  8. «classe de equivalência de frações» (PDF). Consultado em 22 de agosto de 2016 


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