Notação de Leibniz

Em cálculo, a notação de Leibniz, nomeada em honra ao filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz, usa os símbolos dx e dy para representar incrementos "infinitamente pequenos" (ou infinitesimais) de x e y, assim como Δx e Δy representam incrementos finitos de x e y. Sendo y uma função de x

$y=f(x)\,,$

a derivada de y com relação a x, que mais tarde veio a ser conhecida como,

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},$

era, de acordo com Leibniz, o quociente de um incremento infinitesimal de y por um incremento infinitesimal de x, ou

${\frac {dy}{dx}}=f'(x),$

onde, à direita está a notação de Lagrange para a derivada de f em x.

Similarmente, embora os matemáticos atualmente vejam uma integral

$\int f(x)\,dx$

como um limite

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,$

onde Δx é um intervalo contendo x_i, Leibniz o entendia como uma soma (o símbolo da integral denota um somatório) de infinitas quantidades infinitesimais f(x) dx.

Uma vantangem do ponto de vista de Leibniz é sua compatibilidade com análise dimensional. Por exemplo, na notação de Leibniz, a derivada de segunda ordem (usando diferenciação implícita) é:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f''(x)$

e tem as mesmas unidades dimensionais que ${\frac {y}{x^{2}}}$. Note que ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ é a forma reduzida de ${\frac {d{\frac {dy}{dx}}}{dx}}$, ou, em outras palavras a segunda variação infinitesimal de y sobre o quadrado da primeira variação infinitesima de x. O denominador não é nem o diferencial de x², nem o segundo diferencial de x.