Operação justaposição

Seja $(X,\tau )$ um espaço topológico, $\Omega (X,x_{0},x_{1})$ o conjunto de todos os caminhos contínuos de $x_{0}$ até $x_{1}$,$\Omega (X,x_{1},x_{2})$ o conjunto de todos os caminhos contínuos de $x_{1}$ até $x_{2}$ e $\alpha :[0,1]\rightarrow X\,\,\in \Omega (X,x_{0},x_{1})$ e $\beta :[0,1]\rightarrow X\,\,\in \Omega (X,x_{1},x_{2})$ dois caminhos em $X$.

A operação justaposição entre caminhos de um espaço topológico, denotada por $\alpha *\beta$, e definida por:

$\Omega (X,x_{0},x_{1})\times \Omega (X,x_{1},x_{2})\rightarrow \Omega (X,x_{0},x_{2})$

$(\alpha ,\beta )\mapsto \alpha *\beta$

Onde $\alpha *\beta$ denota o caminho justaposto:

$\alpha *\beta ={\begin{cases}\alpha (2t),0\leq t\leq {\dfrac {1}{2}},\\\beta (2t-1),{\dfrac {1}{2}}\leq t<1\end{cases}}$

Observe-se que a operação justaposição não é associativa. Com efeito, sejam:

$\alpha \in \Omega (X,x_{0},x_{1})$

$\beta \in \Omega (X,x_{1},x_{2})$

$\gamma \in \Omega (X,x_{2},x_{3})$

Tem-se:

$(\alpha *\beta )*\gamma ={\begin{cases}\alpha (2t)\,\,0\leq t\leq {\dfrac {1}{2}},\\\beta (4t-2)\,\,{\dfrac {1}{2}}\leq t\leq {\dfrac {3}{4}},\\\gamma (4t-3)\,\,{\dfrac {3}{4}}\leq t\leq 1\end{cases}}$

e

$\alpha *(\beta *\gamma )={\begin{cases}\alpha (4t)\,\,0\leq t\leq {\dfrac {1}{4}}\\\beta (4t-1)\,\,{\dfrac {1}{4}}\leq t\leq {\dfrac {1}{2}}\\\gamma (2t-2)\,\,{\dfrac {1}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}$

Notamos que os caminhos $(\alpha *\beta )*\gamma$ e $\alpha *(\beta *\gamma )$ são diferentes, porém, podemos mostrar que são homotópicos. De fato, basta considerar a homotopia:

$H:[0,1]\times [0,1]\rightarrow X$

$H(t,s)={\begin{cases}\alpha \left({\dfrac {4t-s}{s+1}}\right);\,\,\,\,0\leq t\leq {\dfrac {s+1}{4}},\\\beta (4t-s-1);\,\,\,\,{\dfrac {s+1}{2}}\leq t\leq {\dfrac {s+2}{4}},\\\gamma \left({\dfrac {4t-s-2}{2-s}}\right);\,\,\,\,{\dfrac {s+2}{4}}\leq t\leq 1\end{cases}}$

Se considerarmos então como "equivalentes" dois caminhos homotópicos, teremos a associatividade da operação justaposição. A operação, agora entre classes de homotopia $[\alpha ]$ e $[\beta ]$, denotaremos por $\cdot$. Assim, quando consideramos o conjunto $\Omega (X,x_{0})$ de todos os lacetes com ponto base em $x_{0}$, a relação de equivalência ${\mathcal {R}}$ como $\alpha {\mathcal {R}}\beta$ se, e só se $\alpha$ é homotópico a $\beta$ e tomamos o quociente:

${\dfrac {\Omega (X,x_{0})}{\mathcal {R}}}$

temos que este conjunto com a operação justaposição entre classes de homotopia é um grupo, o qual denotamos por:

$\Pi _{1}(X,x_{0})=\left({\dfrac {\Omega (X,x_{0})}{\mathcal {R}}},\cdot \right)$

e denominamo-lo por grupo fundamental.