Operador adjunto

Em matemática e, em especial, em análise funcional, um operador linear em um espaço de Hilbert pode possuir um operador adjunto. Essa relação é a generalização, para qualquer dimensão, do conceito da matriz transposta conjugada. Se pensarmos no espaço de Hilbert como uma "generalização dos números complexos", então o adjunto de um operador desempenha o papel do conjugado de um número complexo.^[1]

O adjunto de um operador $A$ é, por vezes, chamado de conjugado Hermitiano de $A$ (em homenagem a Charles Hermite) e é denotado por $A^{*}$ ou $A^{\dagger }$ , sendo a última notação especialmente utilizada em conjunto com a notação Bra-ket.^[2]

{\color {RedViolet}{\begin{array}{||c|}\hline {\color {Black}{\text{ O conjugado de Hermitiano de um operator na Notação de Bra-ket }}}\\\\{\color {Blue}\langle A^{\dagger }\phi |\psi \rangle =\langle \phi |A\psi \rangle \quad }\\\\\hline \end{array}}}

^[3]

Definição para os operadores limitadosEditar

Suponha que ${\mathcal {H}}$ é um espaço de Hilbert, com o produto interno $\langle \cdot |\cdot \rangle$ . Considere um operador linear contínuo $A:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ (isso é o mesmo que um operador linear limitado).

Usando o teorema da representação de Riesz, pode-se mostrar que existe um operador linear contínuo único $A^{\dagger }:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ com a seguinte propriedade:

\langle x|Ay\rangle =\langle A^{\dagger }x|y\rangle \quad {\mbox{para todo }}x,y\in {\mathcal {H}}.

Esse operador $A^{\dagger }$ é o adjunto de $A$ . Isso pode ser visto como uma generalização da matriz adjunta.

PropriedadesEditar

Propriedades imediatas:

$A^{**}=A$ (Involução )
Se $A$ é inversível, então assim é $A^{*}$ , com ${(A^{*})}^{-1}={(A^{-1})}^{*}$
${(A+B)}^{*}=A^{*}+B^{*}$ (aditividade)
${(\lambda A)}^{*}=\lambda ^{*}A^{*}$ , onde $\lambda ^{*}$ denota o conjugado do número complexo $\lambda$
${(AB)}^{*}=B^{*}A^{*}$

Se definimos a norma operacional de $A$ por

\|A\|_{op}:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}

então

\|A^{*}\|_{op}=\|A\|_{op}

.

Além disso,

\|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}

O conjunto de operadores lineares limitados em um espaço de Hilbert $H$ juntamente com a operação adjunta e norma operacional formam um protótipo de uma álgebra $C^{*}$ .

ComponentesEditar

Seja $\mathbb {V} ^{n}$ um espaço vetorial finito sobre o corpo complexo e $|i\rangle ,|j\rangle \in \mathbb {V} ^{n}$ dois vetores ortonormais contidos na base canônica desse espaço vetorial. Para qualquer dois vetores contidos nesse espaço na base canônica $|a\rangle ,|b\rangle$ teremos que

$\langle a|b\rangle =\left(\langle b|a\rangle \right)^{*}$ .

Assim considere o operador $\mathbf {D} \subset {\mathcal {L}}\left(\mathbb {V} ^{n}\right)$ ( $\mathbf {D}$ é endomórfico a $\mathbb {V} ^{n}$ ), suas componentes são dadas por

$D_{ij}=\langle i|\mathbf {D} |j\rangle$

mas note que

$\mathbf {D} |j\rangle =|\mathbf {D} j\rangle$

portanto

$\langle j|\mathbf {D} ^{\dagger }=\langle \mathbf {D} j|$

desse modo

$\left(D^{\dagger }\right)_{ij}=\langle i|\mathbf {D} ^{\dagger }|j\rangle =\langle \mathbf {D} i|j\rangle =\langle j|\mathbf {D} i\rangle ^{*}=\langle j|\mathbf {D} |i\rangle ^{*}=\left(D_{ji}\right)^{*}=D_{ji}^{*}$

portanto o adjunto de um operador representado matricialmente é igual à transposta da sua matriz com os conjugados complexos tomados.

Operador HermitianoEditar

Um operador $\mathbf {P}$ que atua num determinado espaço vetorial é dito hermitiano se satisfaz

$\mathbf {P} ^{\dagger }=\mathbf {P}$

Um exemplo de operador hermitiano é o operador momento, visto na mecânica quântica. Suas componentes na base do operador posição $(x,y,z)$ são encontradas a partir da relação de completeza (estamos supondo que o espaço vetorial onde esses operadores atuam é completo)

\langle \Phi |\mathbf {P} ^{\dagger }|\Psi \rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }\langle \mathbf {P} \Phi |x'\rangle \langle x'|\Psi \rangle dx'=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(-i\hbar {\frac {d}{dx'}}\delta (x'-x)\Phi (x')\right)^{*}\Psi (x')dx'=0+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\Phi ^{*}(x')i\hbar \left(-{\frac {d}{dx'}}\delta (x-x')\Psi (x')\right)dx'=\langle \Phi |\mathbf {P} |\Psi \rangle

pois as componentes do operador de derivação não são hermitianas (é anti-hermitiano)

D_{x'x}^{*}=\left({\frac {d}{dx'}}\delta (x'-x)\right)^{*}=\left(\delta (x'-x){\frac {d}{dx'}}\right)^{*}=-\delta (x-x'){\frac {d}{dx'}}=-{\frac {d}{dx'}}\delta (x-x')=-D_{xx'}

o fator

-i

torna o operador hermitiano:

$\left(-iD_{x'x}\right)^{*}=\left(-i{\frac {d}{dx'}}\delta (x'-x)\right)^{*}=i\left(-{\frac {d}{dx'}}\delta (x-x')\right)=-iD_{xx'}$

Conjugado hermitiano de um operador constanteEditar

Temos um operador $K=a+ib$ , onde $a$ e $b$ são números reais, pela definição temos que o conjugado hermitiano

\langle \phi |K\psi \rangle =\langle K^{\dagger }\phi |\psi \rangle \quad

Substituimos $K$ por $a+ib$ ,

\langle (a-ib)\phi |\psi \rangle =\langle \phi |(a+ib)\psi \rangle =(a+ib)\langle \phi |\psi \rangle \quad

temos que, o conjugado de um operador hermitiano constante é o seu conjugado complexo.^[4]

Adjuntos de operador antilinearEditar

Para um operador antilinear a definição de adjunto necessita ser ajustado a fim de compensar a conjugação complexa. Um operador adjunto do operador antilinear $A$ em um espaço de Hilbert $H$ é um operador antilinear $A^{*}:H\rightarrow H$ com a propriedade:

\langle Ax,y\rangle ={\overline {\langle x,A^{*}y\rangle }}\quad {\text{para todo }}x,y\in H.

Outros adjuntosEditar

Esta Equação

\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle

é formalmente semelhante à definição de propriedades de pares de functores adjuntos na teoria da categoria, e neste momento que functor adjunto tem seu nome retirado.