Operador autoadjunto

Um operador autoadjunto, hermitiano ^{(português brasileiro)} ou hermítico ^{(português europeu)} é um operador linear em um espaço vetorial com produto interno que é o adjunto de si mesmo. No caso de espaços de dimensão finita, a matriz que representa esse operador é igual à sua transposta conjugada.

• Propriedades

• Um operador $T\,$ é autoadjunto se e somente se

$\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,~~\forall x,y\,$

• Todo autovalor $\lambda \,$ de um operador autoadjunto $T\,$ é real:

$\lambda \langle v,v\rangle =\langle Tv,v\rangle =\langle v,Tv\rangle ={\overline {\lambda }}\langle v,v\rangle \,$

• Se $\lambda _{1}\,$ e $\lambda _{2}\,$ são autovalores diferentes associados a autovetores $v_{1}\,$ e $v_{2}\,$. Então $\langle v_{1},v_{2}\rangle =0\,$:

$\lambda _{1}\langle v_{1},v_{2}\rangle =\langle Tv_{1},v_{2}\rangle =\langle v_{1},Tv_{2}\rangle =\lambda _{2}\langle v_{1},v_{2}\rangle \,$

$\Longrightarrow (\lambda _{1}-\lambda _{2})\langle v_{1},v_{2}\rangle =0$

Como $\lambda _{1}$e $\lambda _{2}$ são distintos, temos $\lambda _{1}-\lambda _{2}\neq 0$, portanto $\langle v_{1},v_{2}\rangle =0$.

Aplicação do hermitiano na mecânica quântica

Dizer que duas funções diferentes $\Psi _{i}$ e $\Psi _{j}$ são ortogonais significa que a integral (varrendo todo o espaço) do produto dessas funções é igual a zero:

$\int \Psi _{i}^{*}\Psi _{j}dt=0$ para $i\neq j$

Prova da ortogonalidade de funções de onda

Sejas duas autofunções $\Psi _{n}$ e $\Psi _{m}$ correspondentes a dois valores diferentes de energia $E_{n}$ e $E_{m}$ respectivamente. Podemos então escrever:

${\widehat {H}}\Psi _{n}=E_{n}\Psi _{n}$ e ${\widehat {H}}\Psi _{m}=E_{m}\Psi _{m}$

$\int \Psi _{m}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{n}dt=E_{n}\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt$ e $\int \Psi _{n}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{m}dt=E_{m}\int \Psi _{n}^{*}\Psi _{m}dt$

$\int \Psi _{m}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{n}dt-{\biggl (}\int \Psi _{n}^{*}{\widehat {H}}\Psi _{m}dt{\biggl )}^{*}=E_{n}\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt-E_{m}\int \Psi _{n}\Psi _{m}^{*}dt$

Como o hamiltoniano é hermitiano, temos:

$0=(E_{n}-E_{m})\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}dt$

Como as energias são distintas, a integral será nula, confirmando a ortogonalidade.

Operador Linear

No caso de operadores lineares, temos sua representação matricial. Uma matriz é dita matriz hermitiana ou autoadjunta se for idêntica à sua matriz transposta conjugada. O resultado a seguir relaciona os autovalores de uma matriz Hermitiana e de uma submatriz principal em forma de entrelaçamento de autovalores.

Teorema

Considere $A$ uma matriz Hermitiana de ordem $n$, $r$ um inteiro com $1\leq r\leq n$ e $A_{r}$ uma submatriz principal de ordem $r$ de $A$ (obtida removendo $n-r$ linhas e suas colunas correspondentes de $A$). Para cada inteiro $k$ tal que $1\leq k\leq r$, obtemos $\lambda _{k}(A)\leq \lambda _{k}(A_{r})\leq \lambda _{k+n-r}(A).$

Esse resultado é também conhecido como princípio da inclusão.