Na análise funcional, operadores compactos formam uma família de operadores lineares limitados entre espaços de Banach. Grosseiramente falando, a compacidade é critério mais restritivo que a continuidade, suficiente para que certas propriedades dos operadores de posto finito sejam válidas. Em espaços de Hilbert, pode-se mostrar que, de fato, operadores compactos são limites (na norma operacional) de operadores de posto finito.

A importância do estudo destes operadores surgiu basicamente do desenvolvimento de uma teoria espectral para os mesmos e da validade de uma versão da alternativa de Fredholm, mostrando que o problema se comporta como em dimensão finita.

Definição

editar

Sejam   e   espaços de Banach e   um operador linear.   é dito operador linear compacto se a imagem de conjuntos limitados em   é conjunto pré-compacto em  , ou seja, se:

  é compacto, para todo   limitado.

Equivalentemente,   é compacto se para toda seqüência limitada  , existe uma subseqüência   tal que   é convergente.

Exemplo

editar

Considere  , o espaço das funções continuamente diferenciáveis no intervalo   e  , o espaço das funções contínuas no mesmo intervalo; munidos das seguintes normas:

  •  
  •  

Considere, ainda, o operador linear   como sendo a inclusão de   em  .

Se   é uma seqüência limitada em  , então   formam uma família equicontínua e equilimitada de funções definidas em um espaço compacto. Pelo teorema de Arzelà-Ascoli, existe uma seqüência   convergindo uniformemente para algum ponto limite. Como convergência uniforme é equivalente com convergência na norma do supremo, temos que a inclusão é um operador compacto.

Inclusão compacta

editar

Seja   dois espaços de Banach, dizemos que   está compactamente contido em   e escrevemos   se a função inclusão   é um operador compacto entre estes espaços.

Ver também

editar

Bibliografia

editar