Operador compacto
Na análise funcional, operadores compactos formam uma família de operadores lineares limitados entre espaços de Banach. Grosseiramente falando, a compacidade é critério mais restritivo que a continuidade, suficiente para que certas propriedades dos operadores de posto finito sejam válidas. Em espaços de Hilbert, pode-se mostrar que, de fato, operadores compactos são limites (na norma operacional) de operadores de posto finito.
A importância do estudo destes operadores surgiu basicamente do desenvolvimento de uma teoria espectral para os mesmos e da validade de uma versão da alternativa de Fredholm, mostrando que o problema se comporta como em dimensão finita.
Definição
editarSejam e espaços de Banach e um operador linear. é dito operador linear compacto se a imagem de conjuntos limitados em é conjunto pré-compacto em , ou seja, se:
- é compacto, para todo limitado.
Equivalentemente, é compacto se para toda seqüência limitada , existe uma subseqüência tal que é convergente.
Exemplo
editarConsidere , o espaço das funções continuamente diferenciáveis no intervalo e , o espaço das funções contínuas no mesmo intervalo; munidos das seguintes normas:
Considere, ainda, o operador linear como sendo a inclusão de em .
Se é uma seqüência limitada em , então formam uma família equicontínua e equilimitada de funções definidas em um espaço compacto. Pelo teorema de Arzelà-Ascoli, existe uma seqüência convergindo uniformemente para algum ponto limite. Como convergência uniforme é equivalente com convergência na norma do supremo, temos que a inclusão é um operador compacto.
Inclusão compacta
editarSeja dois espaços de Banach, dizemos que está compactamente contido em e escrevemos se a função inclusão é um operador compacto entre estes espaços.
Ver também
editarBibliografia
editar- Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill