Oscilador Harmônico Fracionário

O Oscilador Harmônico Fracionário é um dos melhores exemplos no qual a Modelagem Fracionária, feita via Cálculo Fracionário traz uma descrição mais precisa da realidade comparada à equação de ordem inteira. Para isso, é necessário lembrar como funciona o Oscilador Harmônico Simples.

Resumo do Oscilador Harmônico Simples

A equação diferencial associada a um Oscilador Harmônico, no caso de um sistema massa-mola é dada, a partir da Segunda Lei de Newton por. :

$m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x(t)+c{\frac {d}{dt}}x(t)+kx(t)=g(t)$,

na qual, temos um corpo de massa ‘‘m’’, no tempo ‘‘t’’, a partir da posição de equilíbrio, sujeito a uma força elástica, do tipo Hooke, ‘‘-kx(t)’’, uma força de amortecimento $c{\frac {d}{dt}}x(t)$ e a uma força externa g(t), onde ‘‘c’’ e ‘‘k’’ são constantes positivas.

Analisa-se o particular caso na qual não conta com a presença de atritos, nem forças externas atuando sobre o sistema, sendo assim, a equação ficaria: $m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x(t)+kx(t)=0$,

Gráfico da Solução do Oscilador Harmônico Simples $x(t)=x_{0}cos({\omega _{0}}t)$

com as condições iniciais $x(0)=x_{0}$ e $x^{\prime }(0)=0$.

Aplicando a Transformada de Laplace obtém-se:

$ms^{2}F(s)-msx_{0}+kF(s)=0\implies F(s)=x_{0}{\frac {s}{s^{2}+{\omega _{0}}^{2}}}$ ,

na qual ‘‘F(s)’’ é a transformada de Laplace de ‘‘x(t)’’, ‘‘s’’ é o parâmetro da transformada e ${\omega _{0}}^{2}={\sqrt {k/m}}$.

Com a finalidade de recuperar a solução do problema, aplica-se a Transformada de Laplace Inversa na equação anterior, obtendo assim:

$x(t)=x_{0}cos({\omega _{0}}t)$.

Representado pelo gráfico ao lado:

Oscilador Harmônico Fracionário

Quando a modelagem fracionária é aplicada em alguma equação diferencial, espera-se que ao diminuir a ordem da derivada, obtenha-se uma explicação melhor da realidade. Ao invés de considerar diferentes tipos de atrito na equação, substituímos a derivada de ordem 2, presente na equação do Oscilador harmônico simples por uma derivada no sentido de Caputo de ordem $\alpha$, com $1<\alpha \leqslant 2$, com as condições iniciais $x(0)=0$ e $x^{\prime }(0)=v_{0}$ Ainda com a equação de ordem inteira,

$x^{\prime \prime }(t)+{\omega _{0}}^{2}x(t)=0$ ou

$x^{\prime \prime }(t)=-{\omega _{0}}^{2}x(t)$.

Aplicando o operador Integral de Ordem 1 $(I^{1}f(t)=\int _{0}^{t_{1}}f(t)dt)$, para colocar a equação diferencial em forma de uma equação integral, temos: $\int _{0}^{t}x^{\prime \prime }(t_{1})dt_{1}=-{\omega _{0}}^{2}\int _{0}^{t}x(t_{1})dt_{1}$

$x^{\prime }(t_{1})|_{0}^{t}=-{\omega _{0}}^{2}I^{1}[x(t)]$

$x^{\prime }(t)-x^{\prime }(0)=-{\omega _{0}}^{2}I^{1}[x(t)]$

$x^{\prime }(t)=x^{\prime }(0)-{\omega _{0}}^{2}I^{1}[x(t)]$

Aplicando $I^{1}$ novamente:

$\int _{0}^{t}x^{\prime }(t_{1})dt_{1}=\int _{0}^{t}x^{\prime }(0)dt_{1}-{\omega _{0}}^{2}\int _{0}^{t}I^{1}[x(t)]dt_{1}$

$x(t_{1})|_{0}^{t}=x^{\prime }(0)t_{1}|_{0}^{t}-{\omega _{0}}^{2}I^{2}[x(t)]$

$x(t)=x(0)+tx^{\prime }(0)-{\omega _{0}}^{2}I^{2}[x(t)]$

Convertemos a equação para trabalhar com o conceito de Integral Fracionária. Substituindo a ordem da Integral para uma de ordem não inteira, temos:

$x(t)=x(0)+tv_{0}-{\omega _{0}}^{\alpha }I^{\alpha }[x(t)]$.

Antes de aplicar a Transformada de Laplace, precisamos lembrar que: ${\mathcal {L}}\left\{{x(t)}\right\}=X(s)$, na qual ‘‘s’’ é o parâmetro da transformada. $I^{\alpha }f(t)={\phi }_{\alpha }*f(t)$, A integral fracionária é definida pelo produto de convolução$(*)$ entre a função de Gel’fand Shilov e ‘‘f(t)’’, daí temos que: $I^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f(\tau )}{(t-\tau )^{1-\alpha }}}d\tau$

Aplicando a Transformada, temos:

$X(s)={\frac {x_{0}}{s}}+{\frac {v_{0}}{s^{2}}}-{\omega _{0}}^{2}{\mathcal {L}}\left\{\phi _{\alpha }(t)*x(t)\right\}$

$[1+{\omega _{0}}^{2}s^{-\alpha }]X(s)=x_{0}s^{-1}+v_{0}s^{-2}$

$X(s)=x_{0}{\frac {s^{\alpha -1}}{s^{\alpha }+{\omega _{0}}^{2}}}+v_{0}{\frac {s^{\alpha -2}}{s^{\alpha }+{\omega _{0}}^{2}}}$

Como : ${\mathcal {L}}\left\{{t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }(kt^{\alpha })}\right\}={\frac {s^{\alpha -\beta }}{s^{\alpha }-k}}$ , se $\beta =1$ e $k=-{\omega _{0}}^{\alpha }$, podemos aplicar a Transformada de Laplace Inversa, resultando em:

$x(t)=x_{0}E_{\alpha }(-({\omega _{0}}t)^{\alpha })+v_{0}tE_{\alpha ,2}(-({\omega _{0}}t)^{\alpha })$,

onde $E_{\alpha }(z)$ e $E_{\alpha ,\beta }(z)$ são as funções de Mittag-Leffler com um e dois parâmetros respectivamente.

Para $v_{0}=0$

$x(t)=x_{0}E_{\alpha }(-({\omega _{0}}t)^{\alpha }).$

Tomando o limite: $\lim _{{\alpha }\to 2}x(t)=x_{0}E_{2}(-({\omega _{0}}t)^{\alpha })$

$=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}({\omega _{0}}t)^{2k}}{\Gamma (2k+1)}}$

$=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}({\omega _{0}}t)^{2k}}{(2k)!}}$

$=x_{0}cos({\omega _{0}}t).$

Ou seja, recupera-se a solução do oscilador harmônico de ordem inteira.

Representação Gráfica

Gráfico de $x(t)=x_{0}E_{\alpha }(-({\omega _{0}}t)^{\alpha })$

A solução fracionária $x(t)=x_{0}E_{\alpha }(-({\omega _{0}}t)^{\alpha })$ pode ser visualizada no gráfico, com diferentes valores para a ordem da derivada. Por conveniência toma-se $x_{0}=1$

É possível observar que para $\alpha =2$ recupera-se a solução para o oscilador harmônico simples, e para $\alpha <2$ obtém-se soluções parecidas com o oscilador harmônico amortecido. Assim, fica claro que a modelagem fracionária nos proporciona um detalhamento mais preciso da realidade.