Paradoxo de Banach–Tarski

O teorema de Banach–Tarski estabelece que é possível dividir uma esfera sólida em um número finito de pedaços (em um caso particular Raphael M. Robinson dividiu em exatamente cinco pedaços), e com estes pedaços construir duas esferas, do mesmo tamanho da original. É considerado um paradoxo por ser um resultado contra-intuitivo, mas não por ser contraditório ou por introduzir contradições.

O "paradoxo" de Banach–Tarski: Uma esfera pode ser decomposta e recomposta em duas esferas cada uma do mesmo tamanho da original.

O teorema pode ser generalizado para quaisquer regiões do espaço que sejam limitadas e que tenham um interior, ou, mais especificamente:

Sejam e dois subconjuntos de que são limitados e cujo interior não é vazio. Então é possível decompor e em partições finitas e tal que cada é congruente a cada . [1]

Naturalmente não é possível cortar desta forma uma esfera real, como uma laranja, com uma faca real. Trata-se de uma abstração matemática. A demonstração prova a existência teórica de uma forma de repartir a esfera com estas características. Não há uma prova construtivista, isto é, que descreva a maneira pela qual a esfera deve ser repartida. A demonstração faz uso do axioma da escolha.

Banach e Tarski propuseram este paradoxo como uma evidência para se rejeitar o axioma da escolha, mas os matemáticos apenas consideram que o axioma da escolha tem consequências bizarras e contra-intuitivas.

Esboço da demonstraçãoEditar

A demonstração se baseia na construção de duas matrizes  . Uma destas matrizes,   é uma rotação de   em torno do eixo  , e a outra matriz,  , corresponde à reflexão sobre o plano   seguida de uma rotação de um ângulo   em torno do eixo  . A primeira matriz   é tal que seu cubo é a matriz identidade, e a segunda é tal que seu quadrado é a identidade. Assim, cada elemento do grupo gerado por estas duas matrizes pode ser escrito como uma sequência finita de produtos da segunda matriz pela primeira matriz ( ) ou pelo quadrado da primeira matriz ( ).[1] Caso o ângulo   seja tal que seu cosseno seja um número transcendente, então a representação de cada elemento deste grupo é única.[2]

Este grupo de matrizes   pode ser decomposto em três conjuntos,  e  com a propriedade que   é um elemento de   se, e somente se,   é um elemento de  e  é um elemento de  . Estes conjuntos, que são compostos de rotações e reflexões, portanto transformam um conjunto de pontos em outro conjunto congruente, são usados para decompor uma esfera em uma partição , em que   é um conjunto enumerável e as outras parcelas se relacionam através da rotação   e da matriz  :[2]

 
 
 

Esta decomposição faz-se definindo-se classes de equivalência entre os elementos da esfera (excluindo o conjunto enumerável  ) como   quando existe algum elemento   do grupo de matrizes tal que  , e escolhendo-se o conjunto  com um elemento de cada classe de equivalência. Este passo requer uso do axioma da escolha. Cada conjunto  é obtido a partir de  através de elementos dos conjuntos de matrizes  , ou seja,  [3]

Referências

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