Paradoxo do divórcio

Em matemática, o paradoxo do divórcio surge do fato de a reta real poder ser decomposta em dois conjuntos, sendo um de medida zero e o outro magro.

O paradoxo surge justamente do fato de que ambos os conceitos estão relacionados à ideia de subconjuntos desprezíveis na reta.

Um exemploEditar

Seja   uma enumeração dos racionais e defina os conjuntos:

 

Os conjuntos   são abertos pois são uma união de intervalos abertos. São portanto mensuráveis à Lebesgue e sua medida é:

 

Defina, agora:

 

Como  , vale que   e, portanto:

 

Agora consideremos o complementar de  :

 

Cada   é um conjunto fechado com interior vazio, pois não contém nenhum racional. O conjunto   é, portanto, magro.

Temos o exemplo que queríamos:

 

Números de LiouvilleEditar

O conjunto de todos os números de Liouville forma um exemplo mais natural de conjunto de medida zero cujo complementar é um conjunto magro.