Paradoxo dos gêmeos

O paradoxo dos gêmeos, ou paradoxo de Langevin, é um experimento mental envolvendo a dilatação temporal, uma das consequências da Relatividade restrita. Nele, um homem que faz uma viagem ao espaço numa nave de grande velocidade, voltará em casa mais novo que seu gêmeo que ficou em Terra, movendo-se a velocidades cotidianas.

Dilatação temporal

Ver artigo principal: Dilatação do tempo

A Relatividade restrita prevê que, dado um referencial inercial S e um outro referencial inercial S' tal que S' se move com velocidade constante v em relação a S, por meio de uma Transformação de Lorentz entre referenciais, encontramos a relação entre as coordenadas x,y,z e t do sistema S e as coordenadas x',y',z' e t' do sistema S' .

Usando a transformação de Lorentz para o tempo, obtemos

$\Delta t={\frac {\Delta t'+{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x'}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.$

Se estivermos interessados em um determinado observador de S' , que não se move em relação a esse sistema, $\Delta x'=0$

A relação entre os tempos se reduz a:

$\Delta t={\frac {\Delta t'}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.$

Como v é obrigatoriamente menor que c, o observador de S' observará o tempo correndo mais rapidamente no sistema S, comparado com seu próprio relógio. Note-se que é suposto existirem vários relógios sincronizados entre si em S. A comparação é feita pelo observador de S' a cada vez que passa por algum desses relógios.

Enunciado

Dois gêmeos A e B idênticos, estando o irmão A em uma nave espacial na qual ele viajará a uma velocidade muito próxima de c (velocidade da luz) - enquanto o outro, B, permanece em repouso na Terra. Para B, a nave está se movendo, e por conta disso ele pode afirmar que o tempo está correndo mais lentamente para seu irmão A que está na nave. Na nomenclatura acima, A seria o observador em S', enquanto B estaria em um ponto do sistema S

Analogamente, A vê a Terra se afastar, pelo que ele pode, da mesma forma, afirmar que o tempo corre mais lentamente para B. Ou seja, nada nos impede de considerar B como o observador de S', enquanto A estaria em um ponto de S.

Solução

Em primeiro lugar, o enunciado parte de uma premissa errada. No quadro da relatividade restrita, a simultaneidade de acontecimentos não é garantida entre referenciais movendo-se um em relação ao outro, logo, não faz sentido comparar o correr do tempo para o gêmeo A com o correr do tempo para o gêmeo B sem referir qual o referencial em que essa comparação está a ser feita. Por isso, concluímos que essa teoria é relativamente linear.

O que o gêmeo B pode afirmar é que o tempo corre mais lentamente para o seu irmão A quando medido no seu referencial (de B). Ou seja, quando A vai comparando seu relógio com os vários relógios sincronizados fixados em pontos do referencial de B, à medida que passa por eles, ele percebe seu próprio relógio correr mais lentamente. Do mesmo modo, o gêmeo A pode afirmar que o tempo corre mais lentamente para o seu irmão B quando medido no seu referencial (de A). A situação dos dois gêmeos é simétrica enquanto cada qual estiver no seu referencial inercial. Não há uma contradição porque não se está comparando um determinado relógio de A com um determinado relógio de B. Lembrando que os efeitos relativísticos são sempre atribuídos ao outro.

Mas existe uma quebra de simetria fundamental no problema: somente o irmão B pode afirmar que esteve todo o tempo em um mesmo referencial inercial, a Terra, enquanto que o irmão A saiu do referencial inercial Terra e foi para um referencial movendo-se a velocidade constante em relação ao primeiro; mais tarde, teve de inverter o sentido do movimento (outra mudança de referencial inercial) e, finalmente, abrandar e regressar ao referencial em que se encontrava à partida (uma terceira mudança de referencial inercial).

Assim, a comparação do correr do tempo pode ser feita no referencial inercial da Terra, com relógios sincronizados com os da Terra e dispostos em pontos fixos ao longo do percurso de A. B sempre esteve com seu relógio em um determinado ponto desse referencial (a própria Terra). De lá A partiu e chegou - e conclui-se que B é mais velho do que A.

Estas mudanças de referencial inercial implicam uma aceleração, e A, enquanto acelerado, encontra-se num referencial não-inercial.

No gráfico abaixo, a trajetória do gêmeo A é representada pela reta x'=0 até uma distância de 4 anos luz da terra, com metade da velocidade da luz. A partir daí, ele inverte sua velocidade e retorna à terra, o que ocorre após 16 anos no referencial terrestre. Como A esteve em movimento no primeiro trecho da viagem, ele computa um tempo menor (t'=6,93 anos). O mesmo na viagem de volta, portanto no reencontro terá envelhecido 13,86 anos.

Paradoxo dos gêmeos

Mas de seu ponto de vista é B quem se movimentou no primeiro trecho. E portanto computa para esse um tempo menor (t=6 anos). Ao mesmo tempo ele observa que um relógio no ponto de destino, em repouso em relação à terra e previamente sincronizado com esta, mostra 8 anos passados. Do seu ponto de vista portanto os relógios não estão sincronizados, e o que está na terra marca 2 anos a menos. Assim que inverte a velocidade e passa a voltar para a terra, o cálculo dessa diferença de sincronização se altera e o relógio na terra passa a marcar para ele 10 anos. Somando mais 6 anos na viagem de volta, já que a condição é simétrica a de ida, completam-se os mesmos 16 anos decorridos na terra.

A chave da questão é que só é possível sincronizar os relógios em um dado referencial. Quando A muda de referencial, ele sai de uma sincronização para outra.

Movimento acelerado

Um grande mito é que não é possível se calcular acelerações na Relatividade Restrita, deixando a solução do paradoxo fora do escopo dessa teoria. No entanto isso não é verdade e é perfeitamente possível calcular o movimento de um corpo acelerado na Relatividade Restrita, permitindo calcular o movimento desse corpo.

Vamos calcular o movimento de uma partícula relativística submetida a um 'movimento uniformemente acelerado', ou seja, a cada instante, no referencial de repouso existe uma aceleração constante na direção $z$, escrita como $\gamma _{0}$.

Primeiramente, observamos que no referencial "tangente" de repouso da partícula,

${\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}=\left({\begin{array}{c}0\\{\vec {\gamma }}_{0}\end{array}}\right)$

Para descobrir qual o o quadrivetor no referêncial de laboratório, fazemos uma transformação de Lorentz, e portanto:

${\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}=\left({\begin{array}{c}{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\gamma }}_{0}}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\\{\frac {{\vec {\gamma }}_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{array}}\right)$

Sabemos também que $d\tau =dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$, e podemos então chegar a uma equação para a quadrivelocidade

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}\right)={\frac {d}{dt}}(u^{\mu })=\left({\begin{array}{c}{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\gamma }}_{0}}{c}}\\{\vec {\gamma }}_{0}\end{array}}\right)$

Lembrando que as componentes espaciais do quadrivetor são ${\vec {v}}\gamma$, e portanto

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\vec {v}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)={\vec {\gamma }}_{0}$

Lembrando que a particula se desloca na direção $z$ e escolhendo a partícula em repouso em $t=0$

$v_{z}={\frac {\gamma _{0}t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Agora é só integrar novamente, e chegamos a

$z={\sqrt {{\frac {c^{4}}{\gamma _{0}^{2}}}+c^{2}t^{2}}}-{\frac {c^{2}}{\gamma _{0}}}$

Ver também

• Filosofia do tempo#Einstein

Bibliografia

• Rindler, W. Introduction to Special Relativity, (Oxford University Press, Oxford 1991).