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Paralelismo

relação usada em geometria
As retas a e b são paralelas.

Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma direção.[1]

Índice

Paralelismo de duas retas no plano euclidianoEditar

Sejam duas retas   e   pertencentes a um plano  . Diz-se que   é paralela a   ( // ) se, e somente se,   e   são coincidentes (  =  ) ou se a intersecção de   e   é um conjunto vazio, ou seja, se elas não possuem pontos comuns.[2]

Teorema das retas paralelasEditar

" Se duas retas coplanares e distintas   e  , e uma transversal  , determinam um par de ângulos alternos (ou ângulos correspondentes) congruentes, então   é paralela a  ." [2] [demonstração 1][2]

O recíproco do teorema das retas paralelas, pode ser enunciado como segue:

Sejam   e   retas paralelas e distintas. Se   intercepta ambas, então vale que os ângulos alternos (ou correspondentes) formados pela intercecção são congruentes.[2]

Caso as retas estejam no espaço, então para que sejam paralelas, elas devem determinar um único plano e não possuírem ponto comum.[3] Assim, duas retas serão paralelas se elas possuírem mesma direção.

Unicidade e transitividade do paralelismo de retasEditar

Também conhecido como postulado de Euclides ou postulado das paralelas define que:

"Por um ponto passa uma única reta paralela a uma outra reta dada." [2]

Agora, caso   e   forem retas paralelas, bem como as retas   e   forem paralelas, vale que   e   serão paralelas. [4]

Paralelismo de uma reta e de um plano no espaço euclidianoEditar

No espaço, uma reta e um plano são paralelos se não se intersectam, ou seja, se não possuem pontos em comum.[5]

Uma condição suficiente para a existência de retas e planos paralelos é a de que, definidos uma reta   e um plano  , com   não contida em  , se existir uma outra reta   contida no plano  , de modo que   e   sejam paralelas, então a reta   será paralela ao plano  .[4] [demonstração 2] [4]

Porém, caso a reta   e o plano   forem paralelos, então necessariamente a reta   será paralela a uma reta do plano  [4] [demonstração 3] [4]

Paralelismo de planos no espaço euclidianoEditar

No espaço, há duas possibilidades para que dois planos sejam paralelos:

  1. se eles não se intersectam, ou seja, não possuem nenhum ponto em comum;
  2. se são coincidentes (iguais). [4]

Desse modo, para determinar dois planos distintos e paralelos, é suficiente que a partir de duas retas concorrentes de um dos planos, definamos o outro plano, paralelo à ambas as retas concorrentes do plano inicial,[4] ou seja, para que dois planos distintos   e   sejam paralelos, deve-se ter ou   ou   com duas retas concorrentes que sejam paralelas ao outro plano.[6]

Sendo assim, se dois planos   e   são paralelos e distintos, todas as retas do plano   são paralelas ao plano  , assim como todas as retas do plano   são paralelas ao plano  . Ainda, cada uma das retas de   é paralela a pelo menos uma reta de   e vice-versa.[6]

Paralelismo de retas no plano de acordo com a geometria analíticaEditar

Representa-se uma reta na geometria analítica por meio de uma equação de 1º grau que possui duas incógnitas. Para determiná-la são necessários:

  • 2 pontos distintos pertencentes à reta;

ou

  • 1 ponto da reta e o valor do ângulo de inclinação da reta.[7]

Para que três pontos   e  estejam alinhados (e portanto, pertençam à mesma reta) é necessário que o determinante

 

seja igual a zero. Logo, supondo que   e   sejam pontos distintos pertencentes à uma reta  , para determinar sua equação, basta resolver tal determinante com os pontos  ,   e um ponto genérico   pertencente à  .[7] Os valores para   são fixados apenas para verificar se o ponto está alinhado aos outros dois, ou seja, para concluir se o ponto pertence à reta determinada pelos outros dois pontos.

Como o resultado do determinante deve ser igual a 0, então:

 

 

 

 

Como a equação da reta é da forma  , sendo  e  , neste caso  ,   e  .[7]

Partindo da equação geral da reta, é possível descobrir o valor do ângulo de inclinação da reta, de modo a verificar outras retas com mesmo ângulo de inclinação e portanto, paralelas.

Denotaremos por   o ângulo de inclinação da reta  . Este ângulo deve partir do eixo   no sentido anti-horário. A tangente do ângulo   é denominada coeficiente angular ou declividade da reta.[7] É comum indicar o coeficiente angular por  

 

Há quatro possibilidades para  , as quais possuem algumas peculiaridades:

  •  
  •  
  •  
  •  

Caso  , segue que a reta é paralela ao eixo y (mas o valor da tangente de 90° não está definido). Porém, se  , observa-se que sua declividade é nula e assim, a reta é paralela ao eixo x.[7]

Para os dois outros casos, pode-se calcular  partindo dos valores das coordenadas dos pontos  e  , bastando definir um ponto  , tal que ABC seja um triângulo retângulo em  . Sem perda de generalidade, supomos  ,   e fixemos  . O cateto oposto do triângulo retângulo irá medir  e o cateto adjacente  (o valor está em módulo pois indica uma medida. No cálculo da tangente ele não será utilizado). Logo, sabendo que a tangente de um ângulo é dada pela razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:

 

Se  , então a declividade será positiva. Já se  , então a declividade será negativa.[7]

Porém, caso a equação da reta esteja expressa na forma reduzida, reconhecer retas paralelas a ela será mais simples, bastando observar o valor do coeficiente que acompanha a incógnita da abscissa.

Para isso, considere uma reta  em que se conheça o valor do coeficiente angular, supomos  , além de um ponto   que pertença à  . Considere também um ponto genérico  , tal que  .

Sabemos que:

 

 

Se escolhermos   de modo que ele seja o ponto em que a reta   intercepta o eixo y, então o valor da sua abscissa será 0, e portanto,  , ou seja:

 

 

 [7]

Qualquer outra reta com um mesmo coeficiente angular   será paralela a  .[8]

Paralelismo no espaço euclidiano tridimensional de acordo com a geometria analíticaEditar

Retas paralelasEditar

Seja   um vetor que passa pela origem   com extremidade em  . Então  , ou seja,  . A equação da reta com mesma direção de  , que passa pelo ponto   e pela origem pode ser representada por:

 

 

em que   é um valor real, variando de   a   e  .

Caso o objetivo for determinar uma reta   paralela à  , com   passando por um ponto  , basta fazer:

 

 [9]

O vetor   é chamado de vetor diretor da reta.[10] Logo, qualquer reta com mesma direção de   será paralela à reta  . Desse modo, as retas:

 

 

são paralelas se  , sendo   um número real.

Planos paralelosEditar

A equação de um plano   pode ser obtida a partir de uma reta que seja ortogonal a todos os vetores do plano e de um ponto   pertencente ao plano.[10]

Seja   um vetor não nulo, ortogonal a todos os vetores de   e sejam   e   pontos pertencentes a  . O vetor   é chamado de vetor normal ao plano  . Os vetores de   e   são ortogonais, ou seja, o resultado de seu produto escalar é 0 (por isso o vetor   não deve ser o vetor nulo, já que o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor):[10]

 

 

 

 

 

  é comumente denotado por   e assim:

 

Qualquer ponto que satisfaça a equação anterior pertence ao plano  .[10]

Sendo assim, dois planos serão paralelos se os seus vetores normais forem paralelos, ou seja, para

 

e

 

vale que   e   serão paralelos se

 [9]

Ainda,   e   serão paralelos e distintos se não houver pontos em comum entre eles, caso contrário   e   serão coincidentes e todos os pontos pertencentes a um pertencerão ao outro.

Reta e plano paralelosEditar

Para que uma reta   seja paralela a um plano  , basta que   seja ortogonal ao vetor normal do plano. Logo, para a reta

 

e o plano

 

segue que se os produto escalar dos vetores   e  , respectivamente o vetor diretor da reta   e o vetor normal do plano  , resultar em 0, então   e   serão paralelos.[9]

Porém, há duas possibilidades. Caso a reta   e o plano   possuam pontos em comum, então   estará contida em   e de acordo com o paralelismo de uma reta e um plano no espaço euclidiano,   e   não serão paralelos. Caso não haja nenhum ponto em comum, então   não estará contida em   e   e   serão paralelos.

DemonstraçõesEditar

  1. Demonstração: Hipótese (fato, condição já definida no enunciado do teorema):  ,  ,   pertencem a um mesmo plano, supomos  , com   distinta de   e os ângulos â e ê são congruentes (possuem a mesma medida), sendo â e ê ângulos alternos das retas   e   interceptadas por  . Tese (o que deve ser provado de acordo com o enunciado do teorema):   é paralela à   (  //  ). Sem perda de generalidade, supomos que â seja o ângulo pertencente a intersecção entre as retas   e   e que ê seja o ângulo pertencente à intersecção entre as retas   e  , onde â e ê são ângulos alternos internos. Se   e   não fossem paralelas, então existiria um ponto   comum à   e à  , ou seja,   e   iriam se interseccionar. Considerando agora os pontos   e  , respectivamente intersecções das retas   e   com a transversal  , teríamos o triângulo ABP. De acordo com o teorema do ângulo externo, que define que no triângulo, qualquer um de seus ângulos externos é maior do que cada um dos ângulos internos não adjacentes a ele, teríamos as seguintes possibilidades:
    1. se o ângulo ê fosse interno ao triângulo ABP, então â seria maior que ê.
    2. se o ângulo â fosse interno ao triângulo ABP, então ê seria maior que â.
    Por 1. e 2., segue que:
    â > ê ou ê > â
    o que, de acordo com a hipótese â   ê, é um absurdo. Logo,   é paralela a   (ou   //  ). Note que se â e ê forem ângulos alternos externos congruentes, basta utilizar seus ângulos opostos pelo vértice. Suponha que sejam, respectivamente â' e ê'. Como â   â' e ê   ê', então â'   ê'. Perceba que â' e ê' são ângulos alternos internos e o teorema vale, como provado anteriormente. Assim, segue que o teorema das retas paralelas vale para ângulos alternos externos congruentes. Para provar o caso de ângulos correspondentes congruentes, basta utilizar novamente os ângulos opostos pelo vértice. Assim, se â e ê forem ângulos correspondentes (supomos â externo e ê interno), então representando o ângulo oposto pelo vértice de â por â', teríamos, â   â' e â   ê, de modo que, ê   â'. Como ê e â' são ângulos alternos internos, segue que o teorema vale para ângulos correspondentes congruentes.
  2. Demonstração: Seja   uma reta que não está contida no plano  . Ainda, por hipótese, seja   paralela a uma reta   contida em  . Logo,   e   não se interseccionam e existe um plano   que contém   e   (pela definição de retas paralelas). Por construção,       e      , sendo      . Ou seja,   é a reta de intersecção dos planos   e  . Supomos que   e   possuam um ponto   em comum. Portanto, segue que       e       (já que      ). Desse modo,   pertence a intersecção de   e  , ou seja,      . Logo,       e      , o que é um absurdo, pois, por hipótese,   e   são paralelas e não possuem pontos em comum. Assim, concluímos que   e   não possuem pontos em comum, e portanto,   é paralela à  .
  3. Demonstração: Por hipótese, a reta   e o plano   são paralelos. Logo, eles não se interceptam. Construindo um plano   que contenha a reta   e intercepte  , obtém-se uma reta  , resultante da intersecção dos planos   e  . Note que as retas   e   pertencem ao plano  , porém não possuem pontos em comum. Assim, segue pela definição de retas paralelas, que   é paralela a  , ou seja,   é paralela a uma reta do plano  .

Ver tambémEditar

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  1. «Paralelismo». Consultado em 27 de julho de 2018 
  2. a b c d e Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2013). Fundamentos da Matemática Elementar 9: geometria plana 9 ed. São Paulo: Atual 
  3. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto; Almeida, Nilze de (2004). Matemática: ciência e aplicações 2 ed. São Paulo: Atual. ISBN 85-357-0426-4 
  4. a b c d e f g Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2013). Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica. São Paulo: Atual 
  5. Paulo Antônio Fonseca Machado (2013). «Fundamentos da geometria espacial» (PDF) 
  6. a b Dante, Luiz Roberto (2010). Matemática: contexto e aplicações. 2. São Paulo: Ática 
  7. a b c d e f g Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e tecnologia. 3 2 ed. São Paulo: Leya 
  8. «Matemática analítica – Paralelismo e perpendicularismo entre retas». Blog do Enem 
  9. a b c De Maio, Waldemar; Chiummo, Ana (2008). Geometrias: geometrias analítica e vetorial: euclidianas e não-euclidianas. Rio de Janeiro: LTC 
  10. a b c d «Retas e planos» (PDF)