Abrir menu principal
Um paralelogramo.

Um paralelogramo é um polígono de quatro lados (quadrilátero) cujos lados opostos são paralelos. Por consequência, tem ângulos opostos e lados opostos congruentes.[1][2]

Índice

DefiniçãoEditar

 
Paralelogramo   e suas diagonais   e  .

Um paralelogramo é um quadrilátero plano convexo cujos lados opostos são paralelos.

ElementosEditar

Um paralelogramo   tem:[1][2]

  • quatro lados - os segmentos de reta  ,  ,   e  ;
  • quatro vértices - os pontos  ,  ,   e  ;
  • quatro ângulos internos - os ângulos  ,  ,  ,  ;
  • quatro ângulos externos - os respectivos ângulos suplementares dos ângulos internos;
  • duas diagonais -os segmentos de reta   e  

PropriedadesEditar

Um paralelogramo possui:[1][2]

  1. lados opostos congruentes;
  2. ângulos opostos congruentes;
  3. suas diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios;
  4. ângulos colaterais suplementares;
  5. a soma dos ângulos internos igual a  ;
  6. a soma dos ângulos externos igual a  ;

Observamos que todo quadrilátero convexo plano que possui uma das propriedades 1., 2. ou 3. é um paralelogramo. Existe, portanto, uma reciprocidade em relação a cada uma destas propriedades com a definição de paralelogramo dada acima.

Além disso, notamos que qualquer diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.

Demonstrações das propriedades[1]Editar

 
Paralelogramo: ângulos e lados opostos congruentes.

1. Lados opostos congruentesEditar

Dado o paralelogramo  , mostraremos que   e  . Para tanto, traçamos a diagonal  . Como   e  , tomando   como transversal temos que   (alternos internos) e   (alternos internos). Assim, pelo caso de congruência de triângulos ângulo, lado, ângulo (ALA) temos:

 
Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero   convexo plano, cujos lados opostos sejam congruentes é um paralelogramo. Com efeito, pela congruência de triângulos lado-lado-lado (LLL), temos que   e  , implica  . Logo, são congruentes os ângulos   e  , o que implica  . Um raciocínio análogo mostra que  . Ou seja, lados opostos congruentes implica lados opostos paralelos. Isso conclui esta demonstração.

2. Ângulos opostos congruentesEditar

Dado o paralelogramo  , mostraremos que   e  . A partir da demostração anterior temos que:

 

e

 .

Como   então substituindo (2) em (3) temos:

 .

E, temos ainda  , que usando (1) fornece:

 .

De (3) e (4), concluímos que  . Para o caso   o raciocínio é análogo.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero   convexo plano, cujos ângulos opostos são congruentes é um paralelogramo. Com efeito, temos   e  , logo  . Como  , segue que  . Portanto,  . Um raciocínio análogo prova que  . Isso completa a prova.

3. Diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médiosEditar

 
Diagonais se intersectam no ponto médio.

Seja   um paralelogramo e consideremos suas diagonais   e  . Denotamos por   a interseção destas diagonais. Como   e   são paralelas, temos que os ângulos   e   são congruentes (ângulos alternos internos). Pelo mesmo motivo, são congruentes os ângulos   e  . Como   e   são congruentes, pela congruência ângulo-lado-ângulo (ALA) de triângulos, temos que:

 

Assim temos que   é ponto médio de   e  , logo   é ponto médio e intersecção das diagonais.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero   plano convexo, cujas diagonais interceptam-se nos seus pontos médios é um paralelogramo. Com efeito, seja   o ponto de interseção das diagonais   e  . Como  ,   e  , temos da congruência de triângulos lado-ângulo-lado (LAL) que  . Donde seque que  . Analogamente, vemos que  . Agora, da recíproca da propriedade 1. (lados opostos congruentes), temos que os lados opostos são paralelos, como queríamos demonstrar.

4. Ângulos consecutivos suplementaresEditar

 
Demonstração da propriedade

Seja   um paralelogramo. Mostraremos que os ângulos consecutivos   e   são suplementares. Com efeito, como   e   são paralelas e   é uma transversal, temos que   (1) (ângulos correspondentes). Vemos, imediatamente, que   e   são suplementares, ou seja:

  (2)

e substituindo (1) em (2) temos:

 

como queríamos demonstrar. As demonstrações para os demais ângulos consecutivos são análogas.

5. Soma dos ângulos internosEditar

Segue imediatamente da propriedade 4. que a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é  .

6. Soma dos ângulos externosEditar

Uma vez que em um paralelogramo os lados opostos são paralelos e os ângulos internos consecutivos são suplementares, temos que os ângulos externos consecutivos também são suplementares. Como são quatro, temos que a soma dos ângulos externos é  .

PerímetroEditar

Denotando por   e   os comprimentos de dois de seus lados não-paralelos, seu perímetro pode ser calculado através da fórmula abaixo:

 

ÁreaEditar

 
Paralelogramo de base   e altura  .

A área de um paralelogramo é dada por:[1]

 

onde,   é o comprimento de qualquer um de seus lados e   é a altura relativa a este lado, i.e. o comprimento do segmento de reta perpendicular que liga este lado ao seu oposto.

Equivalentemente, temos:[2]

 

onde,   e   são os comprimentos de dois lados adjacentes e   é o ângulo definido por estes lados.

Ou, ainda, a área pode ser calculado por:

 
 
Paralelogramo  , sendo   o ponto de interseção de suas diagonais   e  .

onde,   e   são os comprimentos das diagonais do paralelogramo e   é um dos ângulos definido pela interseção das diagonais. Com efeito, seja   um paralelogramo (veja figura ao lado). Suas diagonais se interceptam em um ponto   determinando quatro triângulos  ,  ,  ,  . Do fato de que lados opostos de um paralelogramo serem congruentes e de que   é ponto médio de ambas diagonais, temos que os triângulos   e   são congruentes, assim como os triângulos   e  . Notamos que a área do paralelogramo é a soma das áreas dos quatro triângulos. Ou seja, denotando por   e   os comprimentos das diagonais   e  , respectivamente, temos:

 

Aqui,   é o menor ângulo definido pelas diagonais. Temos utilizado que a área de um triângulo   pode ser calculada por:[1]

 .

Por fim, como  , segue o resultado desejado.

Ver tambémEditar

Existem três paralelogramos especiais:

Referências

  1. a b c d e f Dolce, O.; et al. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar Volume 9 - Geometria Plana 9 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535716863 
  2. a b c d Bronshtein, I.N.; et al. (2007). Handbook of Mathematics 5 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 9783540721215