Polígono

Um polígono.

Em geometria, um polígono é uma figura fechada com lados. A palavra "polígono" vem da palavra em grego "polígonos" que significa ter muitos lados ou ângulos. A definição usada por Euclides para polígono era uma figura limitada por linhas retas, sendo que essas linhas deveriam ser mais de quatro, e figura qualquer região do plano cercada por uma ou mais bordas.

Definição

Linha poligonal aberta simples

Linha poligonal

Linha poligonal aberta não-simples

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Denotamos uma linha poligonal fornecendo a sequência dos pontos extremos dos segmentos que a formam. Ou seja, a linha poligonal $A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}$ corresponde a reunião dos segmentos ${\overline {A_{1}A_{2}}},$ ${\overline {A_{2}A_{3}}},$ ..., ${\overline {A_{n-1}A_{n}}}.$

Classificação

Uma linha poligonal $A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}$ é classificada em:

• aberta - quando os extremos $A_{1}$ e $A_{n}$ não coincidem;
• fechada - quando os extremos $A_{1}$ e $A_{n}$ coincidem;
• simples - quando a interseção de qualquer dois segmentos não consecutivos é vazia;
• não-simples - quando não é simples.

Polígono

Um polígono $A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}.$ As linhas tracejadas indicam os vários segmentos que o polígono pode ter.

Polígono é a região plana limitada por uma linha poligonal fechada. Denotamos um polígono de forma similar a que denotamos uma linha poligonal. Isto é, um polígono $A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}$ corresponde à região limitada pela reunião dos segmentos ${\overline {A_{1}A_{2}}},$ ${\overline {A_{2}A_{3}}},$ ..., ${\overline {A_{n-1}A_{n}}}$ e ${\overline {A_{n}A_{1}}}.$

Na literatura, também encontramos o termo polígono como sinônimo de linha poligonal fechada. Neste caso, a região plana limitada pelo polígono é chamada de seu interior e a união do polígono com seu interior é chamada de região poligonal ou superfície poligonal.

Elementos

Um polígono $A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}$ possui os seguintes elementos:

• vértice - extremo de um dos segmentos que formam o polígono, i.e. são vértices os pontos $A_{1},$ $A_{2},$ $A_{3},$ ..., $A_{n};$
• lado - segmento que forma o polígono, i.e. são lados os segmentos ${\overline {A_{1}A_{2}}},$ ${\overline {A_{2}A_{3}}},$ ..., ${\overline {A_{n-1}A_{n}}}$ e ${\overline {A_{n}A_{1}}};$
• diagonais - segmentos de reta com extremidades em vértices não consecutivos;
• ângulo (interno) - ângulo formado por dois lados consecutivos, i.e. os ângulos ${\hat {A}}_{1}=A_{n}{\hat {A}}_{1}A_{2},$ ${\hat {A}}_{2}=A_{1}{\hat {A}}_{2}A_{3},$ ..., ${\hat {A}}_{n}=A_{n-1}{\hat {A}}_{n}A_{1};$
• ângulo externo - ângulo suplementar e adjacente a um ângulo interno.

Exemplo

O polígono $ABCDE$ na figura ao lado possui:

• vértices $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E;$
• lados ${\overline {AB}},$ ${\overline {BC}},$ ${\overline {CD}},$ ${\overline {DE}}$ e ${\overline {EA}};$
• ângulos internos ${\hat {a}},$ ${\hat {b}},$ ${\hat {c}},$ ${\hat {d}},$ ${\hat {e}};$
• diagonais ${\overline {AC}},$ ${\overline {AD}},$ ${\overline {BD}},$ ${\overline {BE}}$ e ${\overline {CE}};$
• ângulos externos ${\hat {a}}_{1},$ ${\hat {b}}_{1},$ ${\hat {c}}_{1},$ ${\hat {d}}_{1}$ e ${\hat {e}}_{1}.$

Perímetro e Área

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. Sua área é a medida da região poligonal definida pelo polígono.

Classificação

Diferentes tipos de polígonos

Quanto à linha poligonal

Um polígono $A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}A_{n}$ pode ser classificado em simples, quando sua linha poligonal associada é simples, ou não-simples (ou complexo), quando sua linha poligonal tem cruzamentos entre seus segmentos (conjunto intersecção não-nulo).

Quanto à região poligonal

Um polígono simples é dito ser convexo quando toda reta determinada por dois de seus vértices consecutivos faz com que todos os demais vértices estejam num mesmo semiplano determinado por ela. Um polígono que não é convexo é dito ser côncavo. Polígonos estrelados são polígonos complexos cujas intersecções de segmentos são equidistantes entre si.

Quanto à congruência

Um polígono é dito ser equilátero quando todos os seus lados são congruentes. Similarmente, é dito ser equiângulo quando todos os seus ângulos são congruentes. Polígonos convexos equiláteros e equiângulos são chamados de polígonos regulares.

Quanto ao número de lados

Os polígonos também são classificados quanto ao número de lados. Em geral, um polígono de $n$ lados é chamado de $n$-látero. Entretanto, comumente empregam-se as seguintes nomenclaturas:

Nomes dos polígonos

Lados	Nome	Lados	Nome	Lados	Nome
1	não existe	11	undecágono	...	...
2	não existe	12	dodecágono
3	triângulo ou trilátero	13	tridecágono	30	triacontágono
4	quadrilátero	14	tetradecágono	40	tetracontágono
5	pentágono	15	pentadecágono	50	pentacontágono
6	hexágono	16	hexadecágono	60	hexacontágono
7	heptágono	17	heptadecágono	70	heptacontágono
8	octógono	18	octodecágono	80	octacontágono
9	eneágono	19	eneadecágono	90	eneacontágono
10	decágono	20	icoságono	100	hectágono

Nomenclatura para polígonos com muitos lados

Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:

Dezenas		e	Unidades		sufixo
		-cai-	1	-ena-	-gono
20	icosi-		2	-di-
30	triaconta-		3	-tri-
40	tetraconta-		4	-tetra-
50	pentaconta-		5	-penta-
60	hexaconta-		6	-hexa-
70	heptaconta-		7	-hepta-
80	octaconta-		8	-octa-
90	eneaconta-		9	-enea-

Exemplo 1

Um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:

Dezenas	e	Unidades	sufixo	nome completo do polígono
tetraconta-	-cai-	-di-	-gono	tetracontacaidígono

Exemplo 2

Um polígono de 50 lados da seguinte forma:

Dezenas	e	Unidades	sufixo	nome completo do polígono
pentaconta-			-gono	pentacontágono

Alguns polígonos possuem nomes alternativos, como o miriágono (10.000 lados).

Propriedades

Podemos observar uma série de relações entre os diversos elementos de um polígono. Aqui, apresentamos algumas destas propriedades.

Vértices e lados

O número de lados e o número de ângulos de um polígono é igual ao seu número de vértices.

Diagonais

• De cada vértice de um polígono de $n$ lados, saem $n-3$ diagonais. Com efeito, um polígono de $n$ lados tem $n$ vértices. De um dado vértice formamos $n-1$ segmentos de reta com cada um dos outros $n-1$ vértices. Agora, observamos que dois destes segmentos são lados do polígono, portanto, de cada vértice partem $n-3$ diagonais.
• O número de diagonais $d$ de um polígono $n$-látero é:
  $$d={\frac {n(n-3)}{2}}.$$
  Com efeito, a combinação de seus $n$ vértices dois a dois fornece o número total de segmentos de reta que podem ser construídos usando todos os seus vértices. Deste número, $n$ são lados do polígono e o restante são diagonais, i.e.:
  $$d=C_{s}^{n}-n={\frac {n!}{2!(n-2)!}}-n={\frac {n(n-1)}{2}}-n={\frac {n(n-3)}{2}}.$$
• Em um polígono convexo de $n$ lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por $n-2.$ De fato, $n-3$ diagonais partem de cada vértice determinando, com os lados do polígono, $n-2$ triângulos.

Ângulos

• A soma das medidas dos ângulos internos $S_{i}$ de um polígono convexo de $n$ lados é dada por:
  $$S_{i}=(n-2)\cdot 180^{\circ }$$
  Com efeito, as diagonais que partem de um dado vértice formam $n-2$ triângulos. Observamos que $S_{i}$ é igual a soma dos ângulos internos destes $n-2$ triângulos, i.e. $S_{i}=(n-2)\cdot 180^{\circ }.$
• A soma das medidas dos ângulos externos $S_{e}$ de um polígono convexo de $n$ lados é igual a $360^{\circ }.$ Com efeito, sejam ${\hat {a}}_{i}$ e ${\hat {b}}_{i}$ os respectivos ângulos interno e externo do $i$-ésimo vértice de um polígono $n$-látero. Por definição, temos ${\hat {a}}_{i}+{\hat {b}}_{i}=180^{\circ }$ para todo $i=1,\ldots ,n.$ Daí, segue que:
  $$180^{\circ }n=\sum _{i=1}^{n}{\hat {a}}_{i}+{\hat {b}}_{i}=S_{i}+S_{e}=180^{\circ }(n-2)+S_{e}$$
  donde, vemos que $S_{e}=360^{\circ }.$
• A medida do ângulo interno ${\hat {a}}_{i}$ de um polígono regular de $n$ lados é dada por:
  $${\hat {a}}_{i}={\frac {(n-2).180^{\circ }}{n}}$$
• A medida do ângulo externo $a_{e}$ de um polígono regular de $n$ lados é dada por:
  $$a_{e}={\frac {360^{\circ }}{n}}.$$
• A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de $n$ lados ($S_{c}$) é igual a $360^{\circ }.$
• A medida do ângulo central de um polígono regular de $n$ lados ($a_{c}$) é dada por:
  $$a_{c}={\frac {360^{\circ }}{n}}.$$

Mitologia

Segundo Eudoxo, citado por Plutarco, os pitagóricos associavam cada polígono a um (ou mais) deuses. O triângulo pertencia a Hades, Dionísio e Ares, o quadrilátero a Reia, Afrodite, Deméter, Héstia e Hera, o dodecágono a Zeus e o polígono de cinquenta e seis lados à criatura demoníaca Tifão.

Ver também

• Poliedro

Ligações externas

• Geometria: Polígonos e triângulos