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Em análise numérica, polinômio de Lagrange (nomeado por razão de Joseph-Louis de Lagrange) é o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange.

DefiniçãoEditar

Dado um conjunto de k+1 pontos:

 

com todos xj distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange é a combinação linear dos polinômios da base de Lagrange:

 ,

com polinômios da base de Lagrange dados por:

 

ProvaEditar

Procuramos uma função que seja um polinômio L(x) de grau menor ou igual a k, com

 

O polinômio de lagrange é a solução para o problema de interpolação.

Como podemos comprovar

  1.   é um polinômio e tem grau k.
  2.  

Então, a função L(x) é um polinômio com grau menor ou igual a k e

 

Existe apenas uma única solução para o problema de interpolação, uma vez que a diferença de duas soluções seria um polinômio de grau menor ou igual a k e k+1 zeros. Isto somente é possível se a diferença for identicamente nula, então L(x) é o único polinômio que interpola os dados fornecidos.

Ideia PrincipalEditar

Polinômios de LagrangeEditar

Como pudemos perceber, a resolução de um problema de interpolação também pode ser entendido como a busca da solução de um sistema matricial de álgebra linear. Além disso, vimos que a utilização do polinômio em base canônica leva a uma matriz de Vandermonde mal condicionada.

Afim de resolver este problema, o matemático Joseph-Louis de Lagrange escolheu uma outra base que melhorasse o condicionamento da matriz. A ideia foi diagonalizá-la, obtendo uma matriz identidade cuja resolução do sistema linear é simples e direta. Dados n pontos de abscissas   , o polinômio interpolador de Lagrange ,Pn(x), será obtido através de uma base de polinômios de grau menor ou igual n, que satisfaçam as seguintes condições:

                                                       (1)

Observe que vamos obter uma série de k polinômios de tal modo que cada um deles se anula em todos os pontos conhecidos com exceção de um em que k=j, de forma que cada polinômio ajuste o valor em um ponto, sendo funções independentes entre si.


 


 


 

                                  

 


Assim, os polinômios de Lagrange podem ser descritos pela fórmula geral:


 


O Polinômio interpolador de Lagrange é dado pela combinação linear dos Lk(x) polinômios base:

 


 

                              

 


Aplicando a condição (1) temos:

 


 

                             

 


Na forma matricial:

     =  

Aplicando o polinômio interpolador de Lagrange obtemos uma matriz identidade bem condicionada em que o sistema linear é prontamente resolvido.

Interpretação geométricaEditar

Dado o conjunto de pontos (2,1), (3,6), (4,4) e (5,5) desejamos construir um polinômio de Lagrange que passe por estes pontos.

Primeiro, construímos os Lk polinômios de Lagrange, perceba que somente um polinômio de Lagrange é não nulo em cada ponto. Depois construímos os Pn polinômios de Lagrange, observe que cada polinômio ajusta um ponto do conjunto, sendo igual ao valor da ordenada do ponto. E usando a fórmula geral construímos o polinômio P de Lagrange que passa por todos os pontos dados:


 
Representação dos Pn polinômios Lagrange


ReferênciasEditar

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Veja tambémEditar