Polinómios de Bernstein

Em matemática, um polinômio de Bernstein é um polinômio da forma:

$B_{i}^{n}(x)={n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}$

O conjunto $\{B_{i}^{n}\}_{i=0}^{n}$ forma uma base para os polinômios de grau até n. Isto é, se $P(x)$ é um polinômio de grau menor ou igual a n, então pode ser escrito na forma:

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}{n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}$

Estes polinômios foram estudados por Sergei Natanovich Bernstein e utilizados para dar uma prova construtiva do teorema de Stone-Weierstrass.

Exemplo

Gráfico dos polinômios de Berstein de grau 3

No caso dos polinômios de grau $3$ a base é composta de:

• $B_{0}^{3}(x)={3 \choose 0}x^{0}(1-x)^{3-0}=(1-x)^{3}$
• $B_{1}^{3}(x)={3 \choose 1}x^{1}(1-x)^{3-1}=3x(1-x)^{2}$
• $B_{2}^{3}(x)={3 \choose 2}x^{2}(1-x)^{3-2}=3x^{2}(1-x)$
• $B_{3}^{3}(x)={3 \choose 3}x^{3}(1-x)^{3-3}=x^{3}$

Todo polinômio de grau 3 pode ser escrito nesta base como:

$P(x)=c_{0}B_{0}^{3}(x)+c_{1}B_{1}^{3}(x)+c_{2}B_{2}^{3}(x)+c_{3}B_{3}^{3}(x)$

Propriedades fundamentais

Estes polinômios possuem propriedades importantes:

• Partição da unidade:

$\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(x)=1$,

• Não-negatividade no intervalo de 0 a 1:

$B_{i}^{n}(x)\geq 0,\in [0,1]$,

• Relação de recorrência:

$B_{i}^{n}(x)=(1-x)B_{i}^{n-1}(x)+xB_{i-1}^{n-1}(x)$.

• Simetria:

$B_{i}^{n}(x)=B_{n-i}^{n}(1-x)$

• Produto:

$B_{i}^{n}(x)B_{j}^{m}(x)$ $={\frac {{n \choose i}{m \choose j}}{{n+m} \choose {i+j}}}B_{n+m}^{i+j}(x)$

• Derivada:

${\frac {d}{dx}}B_{i}^{n}(x)=n\left(B_{i-1}^{n-1}(x)-B_{i}^{n-1}(x)\right)$ ficando bem convencionado que $B_{i}^{n}(x)=0{\hbox{ se }}i<0{\hbox{ ou }}i>n$

• Representação em grau superior:

$B_{i}^{n}(x)={\frac {n+1-i}{n+1}}B_{i}^{n+1}(x)+{\frac {i+1}{n+1}}B_{i+1}^{n+1}(x)$

• Pontos de máximo:

$B_{i}^{n}(x)\,$ assume valor máximo no intervalo $[0,1]\,$ em $x={\frac {i}{n}}\,$. Este máximo é local se $0<i<n\,$.

A segunda destas propriedades é óbvia. Para demonstrar a primeira, escreva:

$[x+(1-x)]^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}$

A terceira pode ser provada simplesmente substituindo a definição e simplificando os binômios usando a fórmula do triângulo de Pascal. As demais também são mostradas por simples verificação.

Representação de $x^{k}$

Para obter uma representação de $x^{k}$ como polinômio de Bernstein, escreva:

$(u+v)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}u^{i}v^{n-i}$

Agora diferencie em relação a $u$ e multiplique por u/n para obter:

$u(u+v)^{n-1}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{\frac {i}{n}}u^{i}v^{n-i}$

se fizermos $u=x$ e $v=1-x$, temos:

$x=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{\frac {i}{n}}x^{i}(1-x)^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {i}{n}}B_{i}^{n}(x),~n\geq 1$

Se tivéssemos diferenciado duas vezes em relação a u, teríamos tido:

$u^{2}(u+v)^{n-2}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{\frac {i(i-1)}{n(n-1)}}u^{i}v^{n-i}$

e teríamos obtido:

$x^{2}=\sum _{i=2}^{n}{\frac {i(i-1)}{n(n-1)}}B_{i}^{n}(x),~n\geq 2$

Ou ainda, poderiamos expandir o argumento de forma a obter para $k\leq n$:

$x^{k}=\sum _{i=k}^{n}{\frac {i(i-1)\ldots (i-k+1)}{n(n-1)\ldots (n-k+1)}}B_{i}^{n}(x),~n\geq 3$

Polinômio de Bernstein associado a uma função

Seja $f(x):[0,1]\to \mathbb {R}$, o polinômio de Bernstein de grau n associado a $f(x)$ é dado por:

$P_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}f\left({\frac {i}{n}}\right)B_{i}^{n}(x)$

Se $f(x)$ for uma função contínua, então $P_{n}(x)$ converge uniformemente para $f(x)$ quando n tende a infinito. Este fato é provado em teorema de Stone-Weierstrass.

${\displaystyle }$

Veja também

• Interpolação polinomial
• Binómio de Newton
• Teorema de Stone-Weierstrass