Polinômios de Laguerre

Os polinômios de Laguerre são uma família de polinômios ortogonais em homenagem a Edmond Laguerre, e aparecem na análise de soluções para a equação diferencial

Desenvolvendo em série de potências, obtemos uma relação de recorrência entre coeficientes consecutivos,

Pode-se ver que quando n é natural o coeficiente da potência de grau maior e diferente de n se anula. Ou seja, uma solução linearmente independente é um polinômio de grau n (polinômio de Laguerre de ordem n, denotados por Ln(x)). Para encontrar a segunda solução linearmente independente, deve-se estudar as soluções da equação mais geral, que é .

DefiniçãoEditar

Um polinômio de Laguerre de ordem n é definido por

 

Que, após o desenvolvimento, assume a forma:

 

Eis alguns desses polinômios:

[1]
n  
0  
1  
2  
3  
4  
5  
6  

Os polinômios de Laguerre também podem ser definidos através da integral

 

Onde a integração é feita no sentido anti-horário sobre qualquer caminho fechado em torno da origem do plano complexo contido no disco | t | < 1.

Função geradoraEditar

A função geradora dos polinômios de Laguerre é dada por:

 

Trocando-se a ordem dos somatórios, fazendo a mudança m = n - k e reordenando os termos, temos que:

 

Sabendo-se que   e rearrumando os termos, temos a forma:

 

Relações de recorrênciaEditar

A partir da função geradora, desprezando-se a potência e derivando em relação a t, pode-se chegar a uma relação de recorrência da seguinte forma:

 

Conhecidos os dois primeiros polinômios (ver tabela), pode-se usar esta fórmula para a obtenção do polinômio de grau n.

OrtogonalidadeEditar

Os polinômios de Laguerre são ortogonais mediante o produto escalar:

 

No entanto, podemos definir as funções:

 

Que são claramente ortonormais em relação ao produto escalar ordinário:

 

Ignorando da definição os polinômios de Laguerre e substituindo na equação da Laguerre, obtemos a equação diferencial cujas soluções são as funções acima:

 

Polinômios associados de LaguerreEditar

Também chamados de polinômios de Laguerre generalizados, os polinômios associados são os que satisfazem a seguinte equação diferencial:

 

DefiniçãoEditar

São definidos a partir das derivadas dos polinômios de Laguerre:

 

Embora seja vantajosa a seguinte definição:

 

Pode-se ver que, para m > n o polinômio associado correspondente é nulo. Também é óbvio que  .

Derivando-se a partir da definição, obtém-se:

 

Função geradora e relações de recorrênciaEditar

A função geradora é dada por:

 

De onde se deduz as relações de recorrência. Algumas delas são:

 
 
 
 
 

OrtogonalidadeEditar

Os polinômios asociados de Laguerre são ortogonais em relação à função peso  . O seguinte se aplica:

 

Outra relação importante é a seguinte:

 

Onde   é a função Gama.

Tal como os polinômios Laguerre, as seguintes funções são ortonormais em relação à função peso 1:

 

São importantes na mecânica quântica outras funções que são ortonormais em relação à função peso   (devido à forma que toma a integral de volume em coordenadas esféricas) que tem como solução a parte radial da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. Essas funções são:

 

Em geral, as funções da forma:

 

São ortogonais em relação à função   e são soluções da equação:

 

Relação com os polinômios de HermiteEditar

Os polinômios de Laguerre estão relacionados com os polinômios de Hermite através de:

 
 

Ver tambémEditar

ReferênciaEditar

Apuntes sobre polinomios de Laguerre de la Universidad de Chile

  1. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 18 de março de 2016