Ponte (teoria dos grafos)

Em teoria dos grafos, uma ponte (também conhecida como aresta-de-corte ou arco de corte ou um istmo) é uma aresta cuja deleção em um grafo aumenta o número de componentes conectados deste. Equivalentemente, uma aresta é uma ponte, se e somente se ela não está contida em qualquer ciclo.

Um grafo com 6 pontes (ressaltadas em vermelho)

Um grafo conexo não-orientado sem arestas de corte

Um grafo é dito ser sem ponte se ele não contém pontes. É fácil ver que isso é equivalente a 2-arestas-conectividade de cada componente não trivial.

Conjectura do ciclo de dupla cobertura

Um importante problema aberto envolvendo pontes é a conjectura do ciclo de dupla cobertura, devido à Seymour e Szekeres (1978 e 1979, independentemente), que afirma que todo grafo sem ponte admite um conjunto de ciclos que contém cada aresta exatamente duas vezes.

Algoritmo de pesquisa de pontes

Um algoritmo de complexidade $O(|V|+|E|)$ para encontrar pontes em um grafo conexo foi descoberto por Tarjan em 1974.

Algoritmo em C++

#include <algorithm>
#include <set>
#include <vector>
#include <cstring>
#define MAX 400

using namespace std;
int n, time_s, visit[MAX];
vector<int> ADJ[MAX]; 

int dfs(int u, int pai, vector<pair<int,int> >& ans){  
    int menor = visit[u] = time_s++;
    int filhos = 0;
    for(int i = 0; i<ADJ[u].size(); i++){
       if(visit[ADJ[u][i]]==0){
          filhos++;
          int m = dfs(ADJ[u][i], u, ans);
          menor = min(menor,m);
          if(visit[u]<m){
              ans.push_back(make_pair(u, ADJ[u][i]));
          }
       }else if(ADJ[u][i]!=pai){
          menor = min(menor, visit[ADJ[u][i]]);
       }
    } 
    return menor;      
}

vector<pair<int,int> > get_articulacoes(){
    vector<pair<int,int> > ans;
    time_s = 1;
    memset(visit, 0, n*sizeof(int));
    dfs(0,-1,ans);
    return ans;
}

Definições: Uma aresta não-árvore entre $v$ e $w$ é denotada por $v--w$. Uma aresta em-árvore com $v$ como pai é denotada por $v\to w$.

$ND(v)=1+\sum _{v\to w}ND(w)$ onde $v$ é o nodo pai de $w$.

$L(v)=\min(\{v-ND(v)+1\}\cup \{L(w)\mid v\to w\}\cup \{w\mid v--w\})$

$L$ detecta conexões para nós mais à esquerda ou mais para baixo na árvore.

$H(v)=\max(\{v\}\cup \{H(w)\mid v\to w\}\cup \{w\mid v--w\})$

$H$ detecta conexões para nós mais à direita ou mais para cima na árvore.

Algoritmo:

1. Encontre uma árvore de extensão mínima de $G$
2. Crie uma árvore enraizada $T$ a partir da árvore de extensão mínima
3. Atravesse a árvore $T$ em pós-ordem e numere os nodos. Nodos pai na árvore agora tem números mais altos do que os nodos filho.
4. Para cada nodo de 1 a $v_{1}$ (o nodo raiz da árvore) faça:
   1. Calcule o número de descendentes $ND(v)$ para este nodo.
   2. Calcule $L(v)$ e $H(v)$
   3. para cada $w$ tal que $v\to w$: se $H(w)\leq w$ e $L(w)>w-ND(w)$ então $(v,w)$ é uma ponte.

Arco de corte em árvores

Uma aresta ou arco e = uv de uma árvore G é um arco de corte de G se e somente se o grau dos vértices u e v são maiores do que 1. Arcos de corte são também definidos para grafos orientados

Ver também

• Vértice de corte

Bibliografia

• Béla Bollobás, Modern graph theory, GTM 184, Springer Verlag, 1998.