O posto (português brasileiro) ou característica (português europeu) de uma matriz (em inglês, "matrix rank") é o número de linhas não-nulas da matriz em causa, quando escrita na forma escalonada por linhas. Equivalentemente, corresponde ao número de linhas ou colunas linearmente independentes da matriz. A característica de uma matriz tem várias implicações[quais?] em relação à independência linear e a dimensão de um espaço vetorial.

O posto de uma matriz pode ser encontrado através dos menores da matriz ou forma escalonada reduzida por linhas.

Forma Escalonada Reduzida por Linhas editar

Nesta forma, é necessário que as matrizes tenham todo o elemento de uma linha que antecede o pivô como nulo. O pivô de uma matriz é quando a linha   e a coluna   tem o mesmo valor, ou seja,  . [1]Seja uma matriz   com dimensões  :

 

Reduzindo à Forma Escalonada Reduzida por Linhas soma elementos da segunda linha com os elementos da primeira linha multiplicados por  . Resultando:

 

Repetindo o mesmo processo de com a terceira linha, resulta-se:

 

Repetindo o mesmo processo transformando   em 0, seja a matriz   a matriz escalonada, tem-se:

 .

O posto será o número de linhas que tem elementos diferente de 0 após o escalonamento. Se a matriz for quadrada, e o posto for igual ao número de linhas, então a matriz tem Posto Cheio (full rank). Resultando em uma matriz linearmente independente, e um dos pré-requisitos para a inversão de matriz.

Caso não seja possível por esse método, é recomendado utilizar outros métodos, como através do método de menor.

Característica de uma matriz editar

De acordo com o teorema de Kronecker, a característica de uma matriz B é c se e somente se:

  • Existe pelo menos uma submatriz   cujo determinante é diferente de zero.
  • Toda submatriz quadrada de ordem superior a c tem determinante zero.

Um menor de uma matriz é o determinante de uma de suas submatrizes. Logo, B tem a característica c quando pelo menos uma de suas submatrizes tem um determinante c não nulo (seu menor) e todo menor de ordem superior é igual a zero.

Se c for não nulo, então c é o maior inteiro não-negativo tal que B possui pelo menos uma submatriz   com determinante diferente de zero. De acordo com a definição,

  •  
  •  

onde m é o número de linhas e n o número de colunas de B.

Literatura editar

  • Horn, Roger A. and Johnson, Charles R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.
  • Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [1] and System of Equations [2]
  • Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]
  • Boldrini; Costa; Figueiredo; Wetzler Álgebra Linear, 3a edição, Editora Habra.

Ver também editar

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  1. Boldrini, José Luiz; Costa, S. I. R.; Figueiredo, V. L.; Wetzler, H. G. (1984). Álgebra Linear 3ª ed. ed. São Paulo: Editora Habra. pp. e