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Princípio da boa ordenação

O Princípio da boa ordenação ou princípio da boa ordem diz que todo subconjunto não-vazio formado por números naturais possui um menor elemento.[1] Isso é o mesmo que dizer que todo subconjunto não vazio formado por números inteiros positivos possui um menor elemento. Este princípio é equivalente ao Princípio da indução.

Em teoria de conjuntos, esta noção é generalizada para a de um conjunto bem-ordenado, um conjunto totalmente ordenado tal que todo subconjunto não vazio possui um elemento mínimo.

Na Teoria axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel [sistema denotado como "ZF sem adição de axiomas extras"], a generalização deste princípio acima é equivalente para o Axioma da Escolha, criado em 1904 pelo matemático alemão Ernst Zermelo. Este é considerado um dos axiomas mais importantes da história da Matemática, apesar de suas consequências não-construtivas e controversas (vide o Paradoxo de Banach-Tarski, entre outros).

Exemplo e motivaçãoEditar

Seja   um subconjunto não-vazio do conjunto dos números naturais. Então   é o elemento mínimo de X quando  . Se   com  , então 0 é o elemento mínimo de X. Isto é óbvio, visto que 0 é o menor elemento de  .

Um elemento   é o elemento máximo de X quando  . Note que   não tem um elemento máximo, logo é de se esperar que existam subconjuntos de   sem um maior elemento.

ProvaEditar

Seja um conjunto X subconjunto dos números naturais, ou seja,  . Por esse princípio, existe um determinado número "n" menor ou igual a todos os elementos do conjunto X, ou seja,  . Há duas possibilidades para o conjunto X:

  1. O número 1 pertence ao conjunto X, ou seja,  . neste caso, 1 será o elemento mínimo do conjunto X.
    • Do contrário, existiria um número "n" pertencente ao conjunto X tal que  , ou seja, isso implicaria dizer que existe um número natural "q" tal que sua soma com "n" resultasse em 1:   . Entretanto, a soma de dois números naturais é sempre o sucessor de algum número natural, e como 1 não é sucessor de nenhum número, essa tese contrária é um absurdo.
  2. O número 1 não pertence ao conjunto X, ou seja,  .
    • Seja um conjunto  , subconjunto dos números naturais, tal que todos os seus elementos são menores que os elementos de  :

  Obviamente,  . Como se  então  e deve existir  tal que  pois do contrário o princípio da indução finita implicaria que  um absurdo. Além disso como   e como   então para algum  , por fim se existisse  como  absurdo, logo existe o menor elemento de  , o número  .

Ver tambémEditar

Referências

  1. Apostol, Tom (1976). Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag. 13 páginas. ISBN 0-387-90163-9