Problema de Basileia

O Problema de Basileia é um famoso problema de teoria dos números proposto pela primeira vez por Pietro Mengoli e resolvido por Leonhard Euler em 1735.[1][2] Posto que o problema não foi resolvido pelos matemáticos mais importantes da época, a solução tornou Euler rapidamente conhecido aos vinte e oito anos. Euler generalizou o problema consideravelmente, e suas ideias foram tomadas anos depois por Bernhard Riemann em seu artigo de 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, onde definiu sua função zeta e demonstrou suas propriedades básicas. O problema deve seu nome à cidade onde residia Euler (Basileia), cidade onde vivia também a família Bernoulli, que tentou resolver o problema sem êxito.

O problema de Basileia consiste em encontrar a soma exata dos inversos dos quadrados dos inteiros positivos, isto é, a soma exata da série infinita:

A prova de EulerEditar

A prova formulada por Euler parte da série de Taylor para a função seno, ou seja

 
que conduz à fórmula
  (1)

Para um polinômio geral de grau n,   em que   são n raízes de  , vale a seguinte decomposição:

 
Visto que as raízes de   ocorrem exatamente quando   em que  , Euler assumiu que pode-se expressar a série infinita em questão como o produto das diversas raízes, tal como um polinômio finito, i.e.:
 
Desenvolvendo-se o produto, obtém-se:
 
comparando-se esta igualdade com a expressão (1), constata-se, pelos termos que acompanham o  , que
 
Evidenciando-se o  , segue que
 

Crítica à demonstração de EulerEditar

Nos dias atuais, a prova apresentada por Euler não seria considerada válida; não há dúvidas, todavia, de que o resultado está correto. A crítica que se faz fundamenta-se no argumento de que séries de potências não são polinômios, e, portanto, não compartilham todas as suas propriedades, não sendo válida, pois, a utilização da decomposição apresentada. Genericamente, de fato, não é válida; na função sen(x)/x, contudo, ela funciona, visto que outras demonstrações mais minuciosas conduzem ao mesmo resultado. Faltou a Euler, em seu tempo, uma abordagem mais elaborada da Análise utilizando quantidades infinitas e infinitesimais.

Referências

  1. «Leonhard Euler: De Summis Serierum Reciprocarum» (em inglês) , com o original em latim
  2. de Oliveira, Darlan Ferreira; Santos, Joãonito de Jesus (2022). «Uma prova geométrica do Problema da Basileia» (PDF). Sociedade Brasileira de Matemática. Professor de Matemática Online (PMO). 10 (3): 292-305. Consultado em 7 de Julho de 2022 
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