Problema dos três corpos

Trajetórias aproximadas de três corpos idênticos localizados nos vértices de um triângulo escaleno e com velocidade inicial zero. Vê-se que o centro de massa, de acordo com a lei de conservação do momento, permanece no local..

O problema dos três corpos, originado no estudo da mecânica celeste, tem por objetivo estudar as órbitas de três corpos, sujeitos apenas às atrações gravitacionais entre eles.[1][2][3] O nome problema dos três corpos tem origem em 1747, segundo d’Alembert.[4] Desde suas origens, há mais de 300 anos, no trabalho de Newton sobre órbitas planetárias, o problema dos três corpos continua a produzir novas idéias para os matemáticos.[5]

O ProblemaEditar

O problema fundamental é prever os movimentos de três corpos (como estrelas ou planetas) atraídos mutuamente pela gravidade, dadas suas posições e velocidades iniciais. Se todos os três objetos são de tamanho e distância comparáveis ao ponto central, uma luta pelo poder se desenvolve e todo o sistema é jogado no caos. Quando o caos acontece, torna-se impossível rastrear os movimentos dos corpos usando matemática regular.[6]

Problema de Euler dos três corposEditar

 Ver artigo principal: Problema de Euler dos três corpos

Estudado por Leonhard Euler, é o problema do movimento de uma massa de teste que se move livremente na presença de um campo gravitacional de duas massas fixas no espaço.[7][8] Este problema é o problema dos três corpos mais simples que mantém seu significado físico. Euler o discutiu em memórias publicadas em 1760.[9][10][11][12]

SoluçõesEditar

Para chegar a uma solução, os cientistas se basearam em descobertas dos últimos dois séculos, a saber, que sistemas instáveis de três corpos acabariam expulsando um dos trios e formariam uma relação binária estável entre os dois corpos restantes.[13] Eles então usaram a matemática tradicional para prever os movimentos dos planetas. Depois de comparar suas previsões com modelos gerados por computador de seus movimentos reais, os cientistas encontraram um alto grau de precisão.[14]

Soluções geométricasEditar

Em alguns casos é possível obter o desenho das órbitas dos três corpos, ou melhor, o desenho do seu percurso ao longo do tempo, sem obter uma solução no sentido clássico. A este desenho pode ser chamado de solução geométrica do problema dos três corpos.[15] Uma solução geométrica está para a respectiva solução clássica como a imagem de uma curva está para a expressão da curva. Em particular a solução geométrica ``ignora a velocidade com que a solução clássica é percorrida e o modo como é percorrida. Na realidade as soluções geométricas de Euler e de Lagrange não ``ignoram totalmente o modo como a curva é percorrida.[16]

Nas soluções colineares de Euler,[17] os três corpos mantêm-se sempre colineares, e as soluções geométricas são constituídas por três cónicas semelhantes ou por três semirectas. Nas soluções equiláteras de Lagrange,[18] os três corpos encontram-se sempre nos vértices de um triângulo equilátero[19] e as soluções geométricas são novamente constituídas por três cónicas semelhantes ou por três semirectas. As solução geométrica sabem que os corpos nunca invertem o sentido do movimento em torno de um dos focos da cónica e que as suas velocidades angulares são maiores quando os corpos estão mais perto desse foco.[16]

Ver tambémEditar

Referências

  1. Delbert, Caroline (6 de novembro de 2019). «Why Is the Three-Body Problem Unsolvable?». Popular Mechanics (em inglês). Consultado em 20 de dezembro de 2019 
  2. «Mathematical mysteries: the three body problem». plus.maths.org (em inglês). 1 de setembro de 1998. Consultado em 20 de dezembro de 2019 
  3. «Sobre "O problema dos três corpos", de Cixin Liu». Literatura Policial. 2 de janeiro de 2018. Consultado em 27 de dezembro de 2019 
  4. Jean d'Alembert, in a paper of 1761 reviewing the mathematical history of the problem, mentions that Euler had given a method for integrating a certain differential equation "in 1740 (seven years before there was question of the Problem of Three Bodies)": see d'Alembert, "Opuscules Mathematiques", vol.2, Paris 1761, Quatorzieme Memoire ("Reflexions sur le Probleme des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune ...") pp.329-312, at sec.VI, p.245.
  5. Stephens, Tim. «The compelling mathematical challenge of the three-body problem». UC Santa Cruz News (em inglês). Consultado em 20 de dezembro de 2019 
  6. «MathFiction: The Three-Body Problem (Cixim Liu (author) / Ken Liu (translator))». kasmana.people.cofc.edu. Consultado em 20 de dezembro de 2019 
  7. Carl D. Murray; Stanley F. Dermott (2000). Solar System Dynamics. [S.l.]: Cambridge University Press. Chapter 3. ISBN 978-0-521-57597-3 
  8. Euler L, Nov. Comm. Acad. Imp. Petropolitanae, 10, pp. 207–242, 11, pp. 152–184; Mémoires de l'Acad. de Berlin, 11, 228–249.
  9. Pauli W (1922). «Über das Modell des Wasserstoffmolekülions». Annalen der Physik. 68 (11): 177–240. Bibcode:1922AnP...373..177P. doi:10.1002/andp.19223731102 
  10. Knudson SK (2006). «The Old Quantum Theory for H2+: Some Chemical Implications». Journal of Chemical Education. 83 (3): 464–472. Bibcode:2006JChEd..83..464K. doi:10.1021/ed083p464 
  11. Strand MP, Reinhardt WP (1979). «Semiclassical quantization of the low lying electronic states of H2+». Journal of Chemical Physics. 70 (8): 3812–3827. Bibcode:1979JChPh..70.3812S. doi:10.1063/1.437932 
  12. Lagrange JL, Miscellanea Taurinensia, 4, 118–243; Oeuvres, 2, pp. 67–121; Mécanique Analytique, 1st edition, pp. 262–286; 2nd edition, 2, pp. 108–121; Oeuvres, 12, pp. 101–114.
  13. «Pesquisadores solucionam o esquivo problema de três corpos de Newton – Terra Rara». Consultado em 27 de dezembro de 2019 
  14. «Scientists closer to solving Newton's 'three-body problem'». Tech Explorist (em inglês). 19 de dezembro de 2019. Consultado em 19 de dezembro de 2019 
  15. Gesztesy, Fritz; Holden, Helge (5 de junho de 2003). Soliton Equations and their Algebro-Geometric Solutions: Volume 1, (1+1)-Dimensional Continuous Models (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-43941-1 
  16. a b «O Problema dos Três Corpos 1». cmup.fc.up.pt. Consultado em 27 de dezembro de 2019 
  17. Kei Yamada, Hideki Asada. «Euler's collinear solution to three-body problem in GR» (PDF). Universidade de Hirosaki, Hirosaki 036-8561, Japão 
  18. Crater, Horace W. (15 de fevereiro de 1978). «Generalization of the Lagrange equilateral-triangle solution and the Euler collinear solution to nongravitational forces in the three-body problem». Physical Review D. 17 (4): 976–984. doi:10.1103/PhysRevD.17.976 
  19. Roberts, Gareth E. (10 de junho de 2002). «Linear Stability of the Elliptic Lagrangian Triangle Solutions in the Three-Body Problem». Journal of Differential Equations. 182 (1): 191–218. ISSN 0022-0396. doi:10.1006/jdeq.2001.4089 
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